傅里葉變換，表示能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。

在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。

定義

設(shè)f∈，則其傅里葉變換為上的函數(shù)，定義為

且稱為傅里葉級數(shù)。

性質(zhì)

收斂性

f到的傅里葉映射為，且，且f的傅里葉級數(shù)在L2范數(shù)下收斂于f。

對稱性質(zhì)

若 ，則。

奇偶性質(zhì)

若 ，且 ，其中 表示 的實部， 表示 的虛部，則 是關(guān)于 的偶函數(shù)，的模是關(guān)于的偶函數(shù)，輻角是關(guān)于的奇函數(shù)。

線性性質(zhì)

若，，則

其中α和β為常數(shù)。

時移性質(zhì)

若，則。

頻移性質(zhì)

若，則。

尺度變換性質(zhì)

若，則。

卷積定理

時域卷積定理：若，，則；

頻域卷積定理：若，，則。

時域微積分

微分性質(zhì)：若，則，；

積分性質(zhì)：若，則。

頻域微積分

微分性質(zhì)：若，則；

積分性質(zhì)：若，則。

應(yīng)用

盡管最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。"任意"的函數(shù)通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對簡單的函數(shù)類，這一想法跟化學上的原子論想法何其相似！奇妙的是，現(xiàn)代數(shù)學發(fā)現(xiàn)傅里葉變換具有非常好的性質(zhì)，使得它如此的好用和有用，讓人不得不感嘆造物的神奇：

傅里葉變換是線性算子，若賦予適當?shù)姆稊?shù)，它還是酉算子；

傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；

正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲取；

著名的卷積定理指出：傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；

離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計算機快速的算出（其算法稱為快速傅里葉變換算法（FFT)).

正是由于上述的良好性質(zhì)，傅里葉變換在物理學、數(shù)論、組合數(shù)學、信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學、聲學、光學等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。

有關(guān)傅里葉變換的FPGA實現(xiàn)

傅里葉變換是數(shù)字信號處理中的基本操作，廣泛應(yīng)用于表述及分析離散時域信號領(lǐng)域。但由于其運算量與變換點數(shù)N的平方成正比關(guān)系，因此，在N較大時，直接應(yīng)用DFT算法進行譜變換是不切合實際的。然而，快速傅里葉變換技術(shù)的出現(xiàn)使情況發(fā)生了根本性的變化。本文主要描述了采用FPGA來實現(xiàn)2k/4k/8k點FFT的設(shè)計方法。

整體結(jié)構(gòu)

一般情況下，N點的傅里葉變換對為：

其中，WN=exp（－2pi/N)。X(k）和x(n）都為復(fù)數(shù)。與之相對的快速傅里葉變換有很多種，如DIT（時域抽取法）、DIF（頻域抽取法）、Cooley－Tukey和Winograd等。對于2n傅里葉變換，Cooley－Tukey算法可導(dǎo)出DIT和DIF算法。本文運用的基本思想是Cooley－Tukey算法，即將高點數(shù)的傅里葉變換通過多重低點數(shù)傅里葉變換來實現(xiàn)。雖然DIT與DIF有差別，但由于它們在本質(zhì)上都是一種基于標號分解的算法，故在運算量和算法復(fù)雜性等方面完全一樣，而沒有性能上的優(yōu)劣之分，所以可以根據(jù)需要任取其中一種，本文主要以DIT方法為對象來討論。

N=8192點DFT的運算表達式為：

式中，m=(4n1 n2)(2048k1 k2)(n=4n1 n2，k=2048k1 k2）其中n1和k2可取0,1，．．．，2047,k1和n2可取0,1,2,3。

由式（3）可知，8k傅里葉變換可由4×2k的傅里葉變換構(gòu)成。同理，4k傅里葉變換可由2×2k的傅里葉變換構(gòu)成。而2k傅里葉變換可由128×16的傅里葉變換構(gòu)成。128的傅里葉變換可進一步由16×8的傅里葉變換構(gòu)成，歸根結(jié)底，整個傅里葉變換可由基2、基4的傅里葉變換構(gòu)成。2k的FFT可以通過5個基4和1個基2變換來實現(xiàn)；4k的FFT變換可通過6個基4變換來實現(xiàn)；8k的FFT可以通過6個基4和1個基2變換來實現(xiàn)。也就是說：FFT的基本結(jié)構(gòu)可由基2/4模塊、復(fù)數(shù)乘法器、存儲單元和存儲器控制模塊構(gòu)成，其整體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

RAM用來存儲輸入數(shù)據(jù)、運算過程中的中間結(jié)果以及運算完成后的數(shù)據(jù)，ROM用來存儲旋轉(zhuǎn)因子表。蝶形運算單元即為基2/4模塊，控制模塊可用于產(chǎn)生控制時序及地址信號，以控制中間運算過程及最后輸出結(jié)果。

蝶形運算器

基4和基2的信號流如圖2所示。圖中，若A=r0 j*i0，B=r1 j*i1，C=r2 j*i2，D=r3 j*i3是要進行變換的信號，Wk0=c0 j*s0=1，Wk1=c1 j*s1，Wk2=c2 j*s2，Wk3=c3 j*s3為旋轉(zhuǎn)因子，將其分別代入圖2中的基4蝶形運算單元，則有：

A′=[r0 (r1×c1－i1×s1) (r2×c2－i2×s2) (r3×c3－i3×s3)] j[i0 (i1×c1 r1×s1) (i2×c2 r2×s2) (i3×c3 r3×s3)]? （4）

B′=[r0 (i1×c1 r1×s1）－（r2×c2－i2×s2）－（i3×c3 r3×s3)] j[i0－（r1×c1－i1×s1）－（i2×c2 r2×s2) (r3×c3－i3×s3)] (5）

C′=[r0－（r1×c1－i1×s1) (r2×c2－i2×s2）－（r3×c3－i3×s3)] j[i0－（i1×c1 r1×s1) (i2×c2 r2×s2）－（i3×c3 r3×s3)] （6）

D′=[r0－（i1×c1 r1×s1）－（r2×c2－i2×s2) (i3×c3 r3×s3)] j[i0 (r1×c1－i1×s1）－（i2×c2 r2×s2）－（r3×c3－i3×s3)]? （7）

而在基2蝶形中，Wk0和Wk2的值均為1，這樣，將A，B，C和D的表達式代入圖2中的基2運算的四個等式中，則有：

A′=r0 (r1×c1－i1×s1) j[i0 (i1×c1 r1×s1)]? （8）

B′=r0－ (r1×c1－i1×s1) j[i0－（i1×c1 r1×s1)] （9）

C′=r2 (r3×c3－i3×s3) j[i0 (i3×c3 r3×s3)]? （10）

D′=r2－（r3×c3－i3×s3) j[i0－（i3×c3 r3×s3)]? （11）

在上述式（4）～（11）中有很多類同項，如i1×c1 r1×s1和r1×c1－i1×s1等，它們僅僅是加減號的不同，其結(jié)構(gòu)和運算均類似，這就為簡化電路提供了可能。同時，在蝶形運算中，復(fù)數(shù)乘法可以由實數(shù)乘法以一定的格式來表示，這也為設(shè)計復(fù)數(shù)乘法器提供了一種實現(xiàn)的途徑。

以基4為例，在其運算單元中，實際上只需做三個復(fù)數(shù)乘法運算，即只須計算BWk1、CWk2和DWk3的值即可，這樣在一個基4蝶形單元里面，最多只需要3個復(fù)數(shù)乘法器就可以了。在實際過程中，在不提高時鐘頻率下，只要將時序控制好?便可利用流水線（Pipeline）技術(shù)并只用一個復(fù)數(shù)乘法器就可完成這三個復(fù)數(shù)乘法，大大節(jié)省了硬件資源。

FFT的地址

FFT變換后輸出的結(jié)果通常為一特定的倒序。因此，幾級變換后對地址的控制必須準確無誤。

倒序的規(guī)律是和分解的方式密切相關(guān)的，以基8為例，其基本倒序規(guī)則如下：

基8可以用2×2×2三級基2變換來表示，則其輸入順序則可用二進制序列（n1 n2 n3）來表示，變換結(jié)束后，其順序?qū)⒆優(yōu)椋╪3 n2 n1），如：X?011　→ x?110　，即輸入順序為3，輸出時順序變?yōu)?。

更進一步，對于基16的變換，可由2×2×2×2，4×4，4×2×2等形式來構(gòu)成，相對于不同的分解形式，往往會有不同的倒序方式。以4×4為例，其輸入順序可以用二進制序列（n1 n2 n3n4）來表示變換結(jié)束后，其順序可變?yōu)椋ǎ╪3 n4）（n1 n2）），如：X?0111　→ x?1101　。即輸入順序為7，輸出時順序變?yōu)?3。

在2k/4k/8k的傅里葉變換中，由于要經(jīng)過多次的基4和基2運算，因此，從每次運算完成后到進入下一次運算前，應(yīng)對運算的結(jié)果進行倒序，以保證運算的正確性。

旋轉(zhuǎn)因子

N點傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)因子有著明顯的周期性和對稱性。其周期性表現(xiàn)為：

FFT之所以可使運算效率得到提高，就是利用了對稱性和周期性把長序列的DFT逐級分解成幾個序列的DFT，并最終以短點數(shù)變換來實現(xiàn)長點數(shù)變換。

根據(jù)旋轉(zhuǎn)因子的對稱性和周期性，在利用ROM存儲旋轉(zhuǎn)因子時，可以只存儲旋轉(zhuǎn)因子表的一部分，而在讀出時增加讀出地址及符號的控制，這樣可以正確實現(xiàn)FFT。因此，充分利用旋轉(zhuǎn)因子的性質(zhì)，可節(jié)省70%以上存儲單元。

實際上，由于旋轉(zhuǎn)因子可分解為正、余弦函數(shù)的組合，故ROM中存的值為正、余弦函數(shù)值的組合。對2k/4k/8k的傅里葉變換來說，只是對一個周期進行不同的分割。由于8k變換的旋轉(zhuǎn)因子包括了2k/4k的所有因子，因此，實現(xiàn)時只要對讀ROM的地址進行控制，即可實現(xiàn)2k/4k/8k變換的通用。

存儲器控制

因FFT是為時序電路而設(shè)計的，因此，控制信號要包括時序的控制信號及存儲器的讀寫地址，并產(chǎn)生各種輔助的指示信號。同時在計算模塊的內(nèi)部，為保證高速，所有的乘法器都須始終保持較高的利用率。這意味著在每一個時鐘來臨時都要向這些單元輸入新的操作數(shù)，而這一切都需要控制信號的緊密配合。

為了實現(xiàn)FFT的流形運算，在運算的同時，存儲器也要接收數(shù)據(jù)。這可以采用乒乓RAM的方法來完成。這種方式?jīng)Q定了實現(xiàn)FFT運算的最大時間。對于4k操作，其接收時間為4096個數(shù)據(jù)周期,這樣FFT的最大運算時間就是4096個數(shù)據(jù)周期。另外，由于輸入數(shù)據(jù)是以一定的時鐘為周期依次輸入的，故在進行內(nèi)部運算時，可以用較高的內(nèi)部時鐘進行運算，然后再存入RAM依次輸出。

為節(jié)省資源，可對存儲數(shù)據(jù)RAM采用原址讀出原址寫入的方法，即在進行下一級變換的同時，首先應(yīng)將結(jié)果回寫到讀出數(shù)據(jù)的RAM存貯器中；而對于ROM，則應(yīng)采用與運算的數(shù)據(jù)相對應(yīng)的方法來讀出存儲器中旋轉(zhuǎn)因子的值。

在2k/4k/8k傅里葉變換中，要實現(xiàn)通用性，控制器是最主要的模塊。2k、4k、8k變換具有不同的內(nèi)部運算時間和存儲器地址，在設(shè)計中，針對不同的點數(shù)應(yīng)設(shè)計不同的存儲器存取地址，同時，在完成變換后，還要對開始輸出有用信號的時刻進行指示。

簡介

Fourier transform或Transformée de Fourier有多個中文譯名，常見的有“傅里葉變換”、“付立葉變換”、“傅立葉轉(zhuǎn)換”、“傅氏轉(zhuǎn)換”、“傅氏變換”、等等。

傅里葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。許多波形可作為信號的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波等，傅里葉變換用正弦波作為信號的成分。

f(t)是t的周期函數(shù)，如果t滿足狄利克雷條件：在一個以2T為周期內(nèi)f(X)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點，附f（x）單調(diào)或可劃分成有限個單調(diào)區(qū)間，則F（x）以2T為周期的傅里葉級數(shù)收斂，和函數(shù)S（x）也是以2T為周期的周期函數(shù)，且在這些間斷點上，函數(shù)是有限值；在一個周期內(nèi)具有有限個極值點；絕對可積。則有下圖①式成立。稱為積分運算f(t)的傅里葉變換，

②式的積分運算叫做F(ω)的傅里葉逆變換。F(ω)叫做f(t)的象函數(shù)，f(t)叫做

F(ω)的象原函數(shù)。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象。

①傅里葉變換

②傅里葉逆變換

傅里葉變換在物理學、電子類學科、數(shù)論、組合數(shù)學、信號處理、概率論、統(tǒng)計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結(jié)構(gòu)動力學等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成頻率譜——顯示與頻率對應(yīng)的幅值大?。?/p>

相關(guān)

* 傅里葉變換屬于諧波分析。

* 傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似;

* 正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲?。?/p>

*卷積定理指出：傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；

* 離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計算機快速地算出（其算法稱為快速傅里葉變換算法（FFT)). 

特殊變換

連續(xù)傅里葉變換

一般情況下，若“傅里葉變換”一詞的前面未加任何限定語，則指的是“連續(xù)傅里葉變換”?！斑B續(xù)傅里葉變換”將平方可積的函數(shù) 表示成復(fù)指數(shù)函數(shù)的積分形式：

上式其實表示的是連續(xù)傅里葉變換的逆變換，即將時間域的函數(shù)表示為頻率域的函數(shù) 的積分。反過來，其正變換恰好是將頻率域的函數(shù) 表示為時間域的函數(shù) 的積分形式。一般可稱函數(shù) 為原函數(shù)，而稱函數(shù) 為傅里葉變換的像函數(shù)，原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個傅里葉變換對（transform pair）。

當 為奇函數(shù)（或偶函數(shù)）時，其余弦（或正弦）分量為零，而可以稱這時的變換為余弦變換（或正弦變換）。

傅里葉級數(shù)

主條目：傅里葉級數(shù)

連續(xù)形式的傅里葉變換其實是傅里葉級數(shù)的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和算子而已。對于周期函數(shù)，它的傅里葉級數(shù)（Fourier series）表示被定義為：

其中 為函數(shù)的周期， 為傅里葉展開系數(shù)，它們等于

對于實值函數(shù)，函數(shù)的傅里葉級數(shù)可以寫成：

其中 和 是實頻率分量的振幅。

離散時間傅里葉變換

主條目：離散時間傅里葉變換

離散時間傅里葉變換（discrete-time Fourier transform, DTFT）針對的是定義域為Z的數(shù)列。設(shè) 為某一數(shù)列，則其DTFT被定義為

相應(yīng)的逆變換為

DTFT在時域上離散，在頻域上則是周期的，它一般用來對離散時間信號進行頻譜分析。DTFT可以被看作是傅里葉級數(shù)的逆。

離散傅里葉變換

為了在科學計算和數(shù)字信號處理等領(lǐng)域使用計算機進行傅里葉變換，必須將函數(shù)定義在離散點上而非連續(xù)域內(nèi)，且須滿足有限性或周期性條件。這種情況下，序列 的離散傅里葉變換（discrete Fourier transform, DFT）為

其逆變換為

直接使用DFT的定義計算的計算復(fù)雜度為 ，而快速傅里葉變換（fast Fourier transform, FFT）可以將復(fù)雜度改進為 。計算復(fù)雜度的降低以及數(shù)字電路計算能力的發(fā)展使得DFT成為在信號處理領(lǐng)域十分實用且重要的方法。

在阿貝爾群上的統(tǒng)一描述

以上各種傅里葉變換可以被更統(tǒng)一的表述成任意局部緊致的阿貝爾群上的傅里葉變換。這一問題屬于調(diào)和分析的范疇。在調(diào)和分析中，一個變換從一個群變換到它的對偶群（dual group）。此外，將傅里葉變換與卷積相聯(lián)系的卷積定理在調(diào)和分析中也有類似的結(jié)論。

傅里葉變換家族

下表列出了傅里葉變換家族的成員。容易發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在時（頻）域的離散對應(yīng)于其像函數(shù)在頻（時）域的周期性，反之連續(xù)則意味著在對應(yīng)域的信號的非周期性。

變換提出

傅里葉是一位法國數(shù)學家和物理學家的名字，英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學學會上發(fā)表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當時具有爭議性的決斷：任何連續(xù)周期信號可以由一組適當?shù)恼仪€組合而成。當時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發(fā)表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在他此后生命的六年中，拉格朗日堅持認為傅里葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。法國科學學會屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅里葉的工作，幸運的是，傅里葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破侖遠征埃及，法國大革命后因會被推上斷頭臺而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個論文才被發(fā)表出來。

拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅里葉是對的。

用正弦曲線來代替原來的曲線而不用方波或三角波來表示的原因在于，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。用正余弦來表示原信號會更加簡單，因為正余弦擁有原信號所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。

為什么用三角函數(shù)展開

為什么偏偏選擇三角函數(shù)而不用其他函數(shù)進行分解？我們從物理系統(tǒng)的特征信號角度來解釋。我們知道：大自然中很多現(xiàn)象可以抽象成一個線性時不變系統(tǒng)來研究，無論你用微分方程還是傳遞函數(shù)或者狀態(tài)空間描述。線性時不變系統(tǒng)可以這樣理解：輸入輸出信號滿足線性關(guān)系，而且系統(tǒng)參數(shù)不隨時間變換。對于大自然界的很多系統(tǒng)，一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。也就是說正弦信號是系統(tǒng)的特征向量！當然，指數(shù)信號也是系統(tǒng)的特征向量，表示能量的衰減或積聚。自然界的衰減或者擴散現(xiàn)象大多是指數(shù)形式的，或者既有波動又有指數(shù)衰減（復(fù)指數(shù) 形式），因此具有特征的基函數(shù)就由三角函數(shù)變成復(fù)指數(shù)函數(shù)。但是，如果輸入是方波、三角波或者其他什么波形，那輸出就不一定是什么樣子了。所以，除了指數(shù)信號和正弦信號以外的其他波形都不是線性系統(tǒng)的特征信號。

用正弦曲線來代替原來的曲線而不用方波或三角波或者其他什么函數(shù)來表示的原因在于：正弦信號恰好是很多線性時不變系統(tǒng)的特征向量。于是就有了傅里葉變換。對于更一般的線性時不變系統(tǒng)，復(fù)指數(shù)信號(表示耗散或衰減)是系統(tǒng)的“特征向量”。于是就有了拉普拉斯變換。z變換也是同樣的道理，這時是離散系統(tǒng)的“特征向量”。這里沒有區(qū)分特征函數(shù)和特征向量的概念，主要想表達二者的思想是相同的，只不過一個是有限維向量，一個是無限維函數(shù)。

傅里葉級數(shù)和傅里葉變換其實就是我們之前討論的特征值與特征向量的問題。分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。這樣，用正余弦來表示原信號會更加簡單，因為正余弦擁有原信號所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)。

這也解釋了為什么我們一碰到信號就想方設(shè)法的把它表示成正弦量或者復(fù)指數(shù)量的形式；為什么方波或者三角波如此“簡單”，我們非要展開的如此“麻煩”；為什么對于一個沒有什么規(guī)律的“非周期”信號，我們都絞盡腦汁的用正弦量展開。就因為正弦量(或復(fù)指數(shù))是特征向量。

時域頻域

什么是時域？從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發(fā)生改變。這種以時間作為參照來觀察動態(tài)世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當然的認為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，并且永遠不會靜止下來。

什么是頻域？頻域(frequency domain)是描述信號在頻率方面特性時用到的一種坐標系。用線性代數(shù)的語言就是裝著正弦函數(shù)的空間。頻域最重要的性質(zhì)是：它不是真實的，而是一個數(shù)學構(gòu)造。頻域是一個遵循特定規(guī)則的數(shù)學范疇。正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的規(guī)則，即正弦波是對頻域的描述，因為時域中的任何波形都可用正弦波合成。

對于一個信號來說，信號強度隨時間的變化規(guī)律就是時域特性，信號是由哪些單一頻率的信號合成的就是頻域特性。

時域分析與頻域分析是對信號的兩個觀察面。時域分析是以時間軸為坐標表示動態(tài)信號的關(guān)系；頻域分析是把信號變?yōu)橐灶l率軸為坐標表示出來。一般來說，時域的表示較為形象與直觀，頻域分析則更為簡練，剖析問題更為深刻和方便。目前，信號分析的趨勢是從時域向頻域發(fā)展。然而，它們是互相聯(lián)系，缺一不可，相輔相成的。貫穿時域與頻域的方法之一，就是傳說中的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)。

變換分類

根據(jù)原信號的不同類型，我們可以把傅里葉變換分為四種類別：

1非周期性連續(xù)信號傅里葉變換（Fourier Transform）

2周期性連續(xù)信號傅里葉級數(shù)(Fourier Series)

3非周期性離散信號離散時域傅里葉變換（Discrete Time Fourier Transform）

4周期性離散信號離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform)

下圖是四種原信號圖例：

這四種傅里葉變換都是針對正無窮大和負無窮大的信號，即信號的的長度是無窮大的，我們知道這對于計算機處理來說是不可能的，那么有沒有針對長度有限的傅里葉變換呢？沒有。因為正余弦波被定義成從負無窮大到正無窮大，我們無法把一個長度無限的信號組合成長度有限的信號。面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無限的信號，可以把信號無限地從左右進行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個信號就可以被看成是非周期性離散信號，我們就可以用到離散時域傅里葉變換的方法。還有，也可以把信號用復(fù)制的方法進行延伸，這樣信號就變成了周期性離散信號，這時我們就可以用離散傅里葉變換方法進行變換。這里我們要學的是離散信號，對于連續(xù)信號我們不作討論，因為計算機只能處理離散的數(shù)值信號，我們的最終目的是運用計算機來處理信號的。

但是對于非周期性的信號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對于計算機來說是不可能實現(xiàn)的。所以對于離散信號的變換只有離散傅里葉變換（DFT）才能被適用，對于計算機來說只有離散的和有限長度的數(shù)據(jù)才能被處理，對于其它的變換類型只有在數(shù)學演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數(shù)學方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。

每種傅里葉變換都分成實數(shù)和復(fù)數(shù)兩種方法，對于實數(shù)方法是最好理解的，但是復(fù)數(shù)方法就相對復(fù)雜許多了，需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知識，不過，如果理解了實數(shù)離散傅里葉變換(real DFT)，再去理解復(fù)數(shù)傅里葉就更容易了，所以我們先把復(fù)數(shù)的傅里葉放到一邊去，先來理解實數(shù)傅里葉變換，在后面我們會先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的基本理論，然后在理解了實數(shù)傅里葉變換的基礎(chǔ)上再來理解復(fù)數(shù)傅里葉變換。

還有，這里我們所要說的變換(transform)雖然是數(shù)學意義上的變換，但跟函數(shù)變換是不同的，函數(shù)變換是符合一一映射準則的，對于離散數(shù)字信號處理（DSP），有許多的變換：傅里葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函數(shù)變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。

變換意義

傅里葉變換是數(shù)字信號處理領(lǐng)域一種很重要的算法。要知道傅里葉變換算法的意義，首先要了解傅里葉原理的意義。傅里葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅里葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。

和傅里葉變換算法對應(yīng)的是反傅里葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉(zhuǎn)換成一個信號。因此，可以說，傅里葉變換將原來難以處理的時域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最后還可以利用傅里葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時域信號。

從現(xiàn)代數(shù)學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。

在數(shù)學領(lǐng)域，盡管最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。"任意"的函數(shù)通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對簡單的函數(shù)類：1. 傅里葉變換是線性算子,若賦予適當?shù)姆稊?shù)，它還是酉算子；2. 傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；3. 正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解。在線性時復(fù)雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段；4. 離散形式的傅里葉的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲取；5. 著名的卷積定理指出:傅里葉變換可以化復(fù)變換可以利用數(shù)字計算機快速的算出(其算法稱為快速傅里葉變換算法(FFT))。

正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學、數(shù)論、組合數(shù)學、信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學、聲學、光學等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。

圖像傅里葉變換

圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值較高。傅里葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設(shè)f是一個能量有限的模擬信號，則其傅里葉變換就表示f的譜。從純粹的數(shù)學意義上看，傅里葉變換是將一個函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來處理的。從物理效果看，傅里葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說，傅里葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅里葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)。

傅里葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續(xù)空間（現(xiàn)實空間）上的采樣得到一系列點的集合，我們習慣用一個二維矩陣表示空間上各點，則圖像可由z=f(x,y)來表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關(guān)系就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應(yīng)關(guān)系。為什么要提梯度？因為實際上對圖像進行二維傅里葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當然頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一對應(yīng)的關(guān)系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅里葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大?。梢赃@么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅里葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點數(shù)更多，那么實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較?。粗?，如果頻譜圖中亮的點數(shù)多，那么實際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對頻譜移頻到原點以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心，對稱分布的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產(chǎn)生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。

另外說明以下幾點：

1、圖像經(jīng)過二維傅里葉變換后，其變換系數(shù)矩陣表明：

若變換矩陣Fn原點設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近（圖中陰影區(qū)）。若所用的二維傅里葉變換矩陣Fn的原點設(shè)在左上角，那么圖像信號能量將集中在系數(shù)矩陣的四個角上。這是由二維傅里葉變換本身性質(zhì)決定的。同時也表明一股圖像能量集中低頻區(qū)域。

2 、變換之后的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）。

傅里葉變換的推廣

將其發(fā)展延伸，構(gòu)造出了其他形式的積分變換:

從數(shù)學的角度理解積分變換就是通過積分運算，把一個函數(shù)變成另一個函數(shù)。也可以理解成是算內(nèi)積，然后就變成一個函數(shù)向另一個函數(shù)的投影：

K（s，t）積分變換的核(Kernel)。當選取不同的積分域和變換核時，就得到不同名稱的積分變換。學術(shù)一點的說法是：向核空間投影，將原問題轉(zhuǎn)化到核空間。所謂核空間，就是這個空間里面裝的是核函數(shù)。

當然，選取什么樣的核主要看你面對的問題有什么特征。不同問題的特征不同，就會對應(yīng)特定的核函數(shù)。把核函數(shù)作為基函數(shù)。將現(xiàn)在的坐標投影到核空間里面去，問題就會得到簡化。之所以叫核，是因為這是最核心的地方。為什么其他變換你都沒怎么聽說過而只熟悉傅里葉變換和拉普拉斯變換呢？因為復(fù)指數(shù)信號才是描述這個世界的特征函數(shù)！

例子

一個關(guān)于實數(shù)離散傅里葉變換(Real DFT)實例

先來看一個變換實例，一個原始信號的長度是16，于是可以把這個信號分解9個余弦波和9個正弦波（一個長度為N的信號可以分解成N/2 1個正余弦信號，這是為什么呢？結(jié)合下面的18個正余弦圖,我想從計算機處理精度上就不難理解，一個長度為N的信號，最多只能有N/2 1個不同頻率，再多的頻率就超過了計算機所能所處理的精度范圍），如下圖：

9個正弦信號：

9個余弦信號：

把以上所有信號相加即可得到原始信號，至于是怎么分別變換出9種不同頻率信號的，我們先不急，先看看對于以上的變換結(jié)果，在程序中又是該怎么表示的，我們可以看看下面這個示例圖：

上圖中左邊表示時域中的信號，右邊是頻域信號表示方法，從左向右表示正向轉(zhuǎn)換(Forward DFT)，從右向左表示逆向轉(zhuǎn)換(Inverse DFT)，用小寫x[]表示信號在每個時間點上的幅度值數(shù)組, 用大寫X[]表示每種頻率的幅度值數(shù)組, 因為有N/2 1種頻率，所以該數(shù)組長度為N/2 1，X[]數(shù)組又分兩種，一種是表示余弦波的不同頻率幅度值：Re X[]，另一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：Im X[]，Re是實數(shù)(Real)的意思，Im是虛數(shù)(Imagine)的意思，采用復(fù)數(shù)的表示方法把正余弦波組合起來進行表示，但這里我們不考慮復(fù)數(shù)的其它作用，只記住是一種組合方法而已，目的是為了便于表達（在后面我們會知道，復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換長度是N，而不是N/2 1）。

用Matlab進行傅里葉變換

FFT是離散傅里葉變換的快速算法，可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號分析采用FFT變換的原因。另外，F(xiàn)FT可以將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經(jīng)常用的。

FFT結(jié)果的具體物理意義。一個模擬信號，經(jīng)過ADC采樣之后，就變成了數(shù)字信號。采樣定理告訴我們，采樣頻率要大于信號頻率的兩倍。

采樣得到的數(shù)字信號，就可以做FFT變換了。N個采樣點，經(jīng)過FFT之后，就可以得到N個點的FFT結(jié)果。為了方便進行FFT運算，通常N取2的整數(shù)次方。

假設(shè)采樣頻率為Fs，信號頻率F，采樣點數(shù)為N。那么FFT之后結(jié)果就是一個為N點的復(fù)數(shù)。每一個點就對應(yīng)著一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什么關(guān)系呢？假設(shè)原始信號的峰值為A，那么FFT的結(jié)果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最后一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這里是假設(shè)的第N 1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，F(xiàn)n所能分辨到頻率為為Fs/N，如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點數(shù)為1024點，則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024點，剛好是1秒，也就是說，采樣1秒時間的信號并做FFT，則結(jié)果可以分析到1Hz，如果采樣2秒時間的信號并做FFT，則結(jié)果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加采樣點數(shù)，也即采樣時間。頻率分辨率和采樣時間是倒數(shù)關(guān)系。

假設(shè)FFT之后某點n用復(fù)數(shù)a bi表示，那么這個復(fù)數(shù)的模就是An=根號a*a b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據(jù)以上的結(jié)果，就可以計算出n點（n≠1，且n<=N/2）對應(yīng)的信號的表達式為：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t Pn)。對于n=1點的信號，是直流分量，幅度即為A1/N。由于FFT結(jié)果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結(jié)果，即小于采樣頻率一半的結(jié)果。

下面以一個實際的信號來做說明。假設(shè)我們有一個信號，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號，以及一個頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號。用數(shù)學表達式就是如下：S=2 3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180) 1.5*cos(2*pi*75*t pi*90/180)。式中cos參數(shù)為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的采樣率對這個信號進行采樣，總共采樣256點。按照我們上面的分析，F(xiàn)n=(n-1)*Fs/N，我們可以知道，每兩個點之間的間距就是1Hz，第n個點的頻率就是n-1。我們的信號有3個頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應(yīng)該分別在第1個點、第51個點、第76個點上出現(xiàn)峰值，其它各點應(yīng)該接近0。實際情況如何呢？我們來看看FFT的結(jié)果的模值如圖所示。

從圖中我們可以看到，在第1點、第51點、和第76點附近有比較大的值。我們分別將這三個點附近的數(shù)據(jù)拿上來細看：

1點： 512 0i

2點： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i

3點： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50點：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i

51點：332.55 - 192i

52點：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

75點：-2.2199E-13 -1.0076E-12i

76點：3.4315E-12 192i

77點：-3.0263E-14 7.5609E-13i

很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值都很小，可以認為是0，即在那些頻率點上的信號幅度為0。接著，我們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的模值，結(jié)果如下：

1點： 512

51點：384

76點：192

按照公式，可以計算出直流分量為：512/N=512/256=2；50Hz信號的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5?？梢姡瑥念l譜分析出來的幅度是正確的。

然后再來計算相位信息。直流信號沒有相位可言，不用管它。先計算50Hz信號的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結(jié)果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計算75Hz信號的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002?？梢?，相位也是對的。根據(jù)FFT結(jié)果以及上面的分析計算，我們就可以寫出信號的表達式了，它就是我們開始提供的信號。

總結(jié)：假設(shè)采樣頻率為Fs，采樣點數(shù)為N，做FFT之后，某一點n（n從1開始）表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N；該點的模值除以N/2就是對應(yīng)該頻率下的信號的幅度（對于直流信號是除以N）；該點的相位即是對應(yīng)該頻率下的信號的相位。相位的計算可用函數(shù)atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求坐標為(a,b)點的角度值，范圍從-pi到pi。要精確到xHz，則需要采樣長度為1/x秒的信號，并做FFT。要提高頻率分辨率，就需要增加采樣點數(shù)，這在一些實際的應(yīng)用中是不現(xiàn)實的，需要在較短的時間內(nèi)完成分析。解決這個問題的方法有頻率細分法，比較簡單的方法是采樣比較短時間的信號，然后在后面補充一定數(shù)量的0，使其長度達到需要的點數(shù)，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。具體的頻率細分法可參考相關(guān)文獻。