拋物線是指平面內(nèi)與一定點(diǎn)和一定直線（定直線不經(jīng)過定點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡，其中定點(diǎn)叫拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫拋物線的準(zhǔn)線。它有許多表示方法，例如參數(shù)表示，標(biāo)準(zhǔn)方程表示等等。它在幾何光學(xué)和力學(xué)中有重要的用處。拋物線也是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平行于某條母線的平面相截而得的曲線。拋物線在合適的坐標(biāo)變換下，也可看成二次函數(shù)圖像。

簡(jiǎn)介

在數(shù)學(xué)中，拋物線是一個(gè)平面曲線，它是鏡像對(duì)稱的，并且當(dāng)定向大致為U形（如果不同的方向，它仍然是拋物線）。它適用于幾個(gè)表面上不同的數(shù)學(xué)描述中的任何一個(gè)，這些描述都可以被證明是完全相同的曲線。

拋物線的一個(gè)描述涉及一個(gè)點(diǎn)（焦點(diǎn)）和一條線（準(zhǔn)線）。焦點(diǎn)并不在準(zhǔn)線上。拋物線是該平面中與準(zhǔn)線和焦點(diǎn)等距的點(diǎn)的軌跡。拋物線的另一個(gè)描述是作為圓錐截面，由圓錐形表面和平行于錐形母線的平面的交點(diǎn)形成。第三個(gè)描述是代數(shù)。

垂直于準(zhǔn)線并通過焦點(diǎn)的線（即通過中間分解拋物線的線）被稱為“對(duì)稱軸”。與對(duì)稱軸相交的拋物線上的點(diǎn)被稱為“頂點(diǎn)”，并且是拋物線最鋒利彎曲的點(diǎn)。沿著對(duì)稱軸測(cè)量的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)之間的距離是“焦距”。“直線”是拋物線的平行線，并通過焦點(diǎn)。拋物線可以向上，向下，向左，向右或向另一個(gè)任意方向打開。任何拋物線都可以重新定位并重新定位，以適應(yīng)任何其他拋物線-也就是說，所有拋物線都是幾何相似的。

拋物線具有這樣的性質(zhì)，如果它們由反射光的材料制成，則平行于拋物線的對(duì)稱軸行進(jìn)并撞擊其凹面的光被反射到其焦點(diǎn)，而不管拋物線在哪里發(fā)生反射。相反，從焦點(diǎn)處的點(diǎn)源產(chǎn)生的光被反射成平行（“準(zhǔn)直”）光束，使拋物線平行于對(duì)稱軸。聲音和其他形式的能量也會(huì)產(chǎn)生相同的效果。這種反射性質(zhì)是拋物線的許多實(shí)際應(yīng)用的基礎(chǔ)。

拋物線具有許多重要的應(yīng)用，從拋物面天線或拋物線麥克風(fēng)到汽車前照燈反射器到設(shè)計(jì)彈道導(dǎo)彈。它們經(jīng)常用于物理，工程和許多其他領(lǐng)域。

發(fā)展歷程

Apollonius所著的八冊(cè)《圓錐曲線》（Conics）集其大成，可以說是古希臘解析幾何學(xué)一個(gè)登峰造極的精擘之作。今日大家熟知的ellipse（橢圓）、parabola（拋物線）、hyperbola（雙曲線）這些名詞，都是Apollonius所發(fā)明的。當(dāng)時(shí)對(duì)于這種既簡(jiǎn)樸又完美的曲線的研究，乃是純粹從幾何學(xué)的觀點(diǎn)，研討和圓密切相關(guān)的這種曲線；它們的幾何乃是圓的幾何的自然推廣，在當(dāng)年這是一種純理念的探索，并不寄望也無從預(yù)期它們會(huì)真的在大自然的基本結(jié)構(gòu)中扮演著重要的角色。

標(biāo)準(zhǔn)方程

四種方程

拋物線四種方程的異同

共同點(diǎn)：

①原點(diǎn)在拋物線上，離心率e均為1②對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；

③準(zhǔn)線與對(duì)稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)分別對(duì)稱于原點(diǎn)，它們與原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的1/4

不同點(diǎn)：

①對(duì)稱軸為x軸時(shí)，方程右端為±2px，方程的左端為y^2；對(duì)稱軸為y軸時(shí)，方程的右端為±2py，方程的左端為x^2；

②開口方向與x軸（或y軸）的正半軸相同時(shí)，焦點(diǎn)在x軸（y軸）的正半軸上，方程的右端取正號(hào)；開口方向與x（或y軸）的負(fù)半軸相同時(shí)，焦點(diǎn)在x軸（或y軸）的負(fù)半軸上，方程的右端取負(fù)號(hào)。

切線方程

拋物線y2=2px上一點(diǎn)（x0，y0）。

拋物線y2=2px上過焦點(diǎn)斜率為k的方程為：y=k（x-p/2）。

相關(guān)參數(shù)

（對(duì)于向右開口的拋物線y2=2px）

離心率：e=1（恒為定值，為拋物線上一點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離以及該點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離比）

焦點(diǎn):（p/2，0）

準(zhǔn)線方程l:x=-p/2

頂點(diǎn)：（0，0）

定義域：對(duì)于拋物線y2=2px，p>0時(shí)，定義域?yàn)閤≥0，p<0時(shí)，定義域?yàn)閤≤0；對(duì)于拋物線x2=2py，定義域?yàn)镽。

值域：對(duì)于拋物線y2=2px，值域?yàn)镽，對(duì)于拋物線x2=2py，p>0時(shí)，值域?yàn)閥≥0，p<0時(shí)，值域?yàn)閥≤0。

術(shù)語解釋

準(zhǔn)線、焦點(diǎn)：拋物線是平面內(nèi)到一定點(diǎn)和到一條不過此點(diǎn)的定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡。這一定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。

軸：拋物線是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸簡(jiǎn)稱軸。

焦準(zhǔn)距：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離稱為焦準(zhǔn)距，長(zhǎng)度為p。

焦半徑：連接拋物線上任意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)得到的線段。對(duì)于拋物線y2=2px，P(x0，y0)，則|PF|=x0 p/2。

弦：拋物線的弦是連接拋物線上任意兩點(diǎn)的線段。

焦弦：拋物線的焦弦是經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的弦。對(duì)于拋物線y2=2px，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|=x1 x2 p=2p/sin2θ（θ是AB的傾斜角）

正焦弦：拋物線的正焦弦是垂直于軸的焦弦，又叫通徑。通徑長(zhǎng)為2p。

直徑：拋物線的直徑是拋物線一組平行弦中點(diǎn)的軌跡。這條直徑也叫這組平行弦的共軛直徑。所有的直徑都與軸平行，因此也可以定義拋物線的直徑為過拋物線上任意一點(diǎn)作軸的平行線（射線）

主要直徑：拋物線的主要直徑是拋物線的軸的一部分（在拋物線內(nèi)部的射線）。

拋物線即把物體拋擲出去，落在遠(yuǎn)處地面，這物體在空中經(jīng)過的曲線。

幾何性質(zhì)

有關(guān)切線、法線的幾何性質(zhì)

（1）設(shè)拋物線上一點(diǎn)P的切線與準(zhǔn)線相交于Q，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，則PF⊥QF。且過P作PA垂直于準(zhǔn)線，垂足為A，那么PQ平分∠APF。

（2）過拋物線上一點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線PA，則∠APF的平分線與拋物線切于P?！礊樾再|(zhì)（1）第二部分的逆定理〉從這條性質(zhì)可以得出過拋物線上一點(diǎn)P作拋物線的切線的尺規(guī)作圖方法。

（3）設(shè)拋物線上一點(diǎn)P（P不是頂點(diǎn)）的切線與法線分別交軸于A、B，則F為AB中點(diǎn)。這個(gè)性質(zhì)可以推出拋物線的光學(xué)性質(zhì)，即經(jīng)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸。各種探照燈、汽車燈即利用拋物線（面）的這個(gè)性質(zhì)，讓光源處在焦點(diǎn)處以發(fā)射出（準(zhǔn)）平行光。

（4）設(shè)拋物線上除頂點(diǎn)外的點(diǎn)P的切線交軸于A，交頂點(diǎn)O的切線于B，則FB垂直平分PA，且FB與準(zhǔn)線的交點(diǎn)M恰好是P在準(zhǔn)線上的射影（即PM垂直于準(zhǔn)線）。

（5）拋物線的三條切線所圍成的三角形，其外接圓經(jīng)過焦點(diǎn)。即：若AB、AC、BC都是拋物線的切線，則ABCF四點(diǎn)共圓。

（6）過拋物線外一點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，連接切點(diǎn)的弦與軸相交于A。又設(shè)P在軸上的射影為B，則O是AB中點(diǎn)。

（7）若拋物線與一個(gè)三角形的三條邊（所在直線）都相切，則準(zhǔn)線通過該三角形的垂心。

有關(guān)弦的幾何性質(zhì)

（8）焦點(diǎn)弦兩端的切線互相垂直，并且垂足在準(zhǔn)線上。

（9）過焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M、N。設(shè)A、B處的切線相交于P，則P是MN中點(diǎn)，并且以AB為直徑的圓切準(zhǔn)線于P。

（10）若拋物線的兩條焦點(diǎn)弦相等，連接這兩條焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)，則連線與軸垂直。

（11）拋物線的一條弦AB與軸相交于P（不一定是焦點(diǎn)F），過A、B分別作軸的垂線AM、BN，拋物線頂點(diǎn)為O，則OP2=AM*BN。

切線的尺規(guī)作圖

根據(jù)幾何性質(zhì)（2）可以得到過拋物線上一點(diǎn)或拋物線外一點(diǎn)P作拋物線的切線的尺規(guī)作圖方法。

（1）P在拋物線上

①過P作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)A為垂足

②連接PF（F是焦點(diǎn)）

③作∠APF的平分線PQ

則根據(jù)性質(zhì)（2），直線PQ為切線

（2）P在拋物線外

①連接PF

②以P為圓心，PF為半徑畫弧，弧與準(zhǔn)線分別交于A、B

③過A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂線和拋物線分別交于M、N

④連接PM、PN，則PM、PN為所求切線（有兩條）

這是因?yàn)椋暨B接MF，則在△PAM和△PFM中

∵PA=PF（圓的定義），PM=PM（公共邊），MA=MF（拋物線的定義）

∴△PAM≌△PFM（SSS）

∴∠AMP=∠FMP（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）

∴MP平分∠AMF（角平分線的定義）

∴MP為切線（性質(zhì)（2））

同理可證NP是另一條切線

解析式求法

以焦點(diǎn)在X軸上為例

知道P（x0，y0）

令所求為y1=2px

則有y01=2px0

故2p=y01/x0

故拋物線為y1=（y01/x0）x

現(xiàn)總結(jié)如下:

（1）知道拋物線過三個(gè)點(diǎn)（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）設(shè)拋物線方程為y=ax2 bx c，

將各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代進(jìn)去得到一個(gè)三元一次方程組，解得a，b，c的值即得解析式。

（2）知道拋物線的與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)（x1，0），（x2，0），并知道拋物線過某一個(gè)點(diǎn)（m，n），

設(shè)拋物線的方程為y=a（x-x1）（x-x2），然后將點(diǎn)（m，n）代入去求得二次項(xiàng)系數(shù)a。

（3）知道對(duì)稱軸x=k，

設(shè)拋物線方程是y=a（x-k）2 b，再結(jié)合其它條件確定a，c的值。

（4）知道二次函數(shù)的最值為p，

設(shè)拋物線方程是y=a（x-k）2 p，a，k要根據(jù)其它條件確定。

擴(kuò)展公式

拋物線：y = ax2 bx c（a≠0）

就是y等于ax的平方加上bx再加上c；

a > 0時(shí)開口向上；

a < 0時(shí)開口向下；

c = 0時(shí)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；

b=0時(shí)拋物線對(duì)稱軸為y軸。

還有頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）1 k

h是頂點(diǎn)坐標(biāo)的x；

k是頂點(diǎn)坐標(biāo)的y；

一般用于求最大值與最小值。

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程：y1=2px

它表示拋物線的焦點(diǎn)在x的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（p/2，0）準(zhǔn)線方程為x=-p/2。

由于拋物線的焦點(diǎn)可在任意半軸，故共有標(biāo)準(zhǔn)方程y1=2px，y1=-2px，x1=2py，x1=-2py。

相關(guān)結(jié)論

A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在拋物線y1=2px上，則有：

①直線AB過焦點(diǎn)時(shí)，x1x2=p2/4，y1y2 = -p2；

（當(dāng)A，B在拋物線x2=2py上時(shí)，則有x1x2=-p2，y1y2=p2/4，要在直線過焦點(diǎn)時(shí)才能成立）

②焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：|AB|=x1 x2 P=2P/[（sinθ）2]；

③（1/|FA|） （1/|FB|）=2/P；（其中長(zhǎng)的一條長(zhǎng)度為P/（1-cosθ），短的一條長(zhǎng)度為P/（1 cosθ））

④若OA垂直O(jiān)B則AB過定點(diǎn)M（2P，0）；

⑤焦半徑：|FP|=x p/2（拋物線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于P到準(zhǔn)線L的距離）；

⑥弦長(zhǎng)公式：AB=√（1 k1）*│x1-x2│；

⑦△=b1-4ac；

⑴△=b1-4ac>0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

⑵△=b1-4ac=0有兩個(gè)一樣的實(shí)數(shù)根；

⑶△=b1-4ac<0沒實(shí)數(shù)根。

⑧由拋物線焦點(diǎn)到其切線的垂線的距離是焦點(diǎn)到切點(diǎn)的距離與到頂點(diǎn)距離的比例中項(xiàng)；

⑨標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線在（x0，y0）點(diǎn)的切線是：yy0=p（x x0）

（注:圓錐曲線切線方程中x2=x*x0，y2=y*y0，x=（x x0）/2，y=（y y0）/2）