一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，且B中含有字母，那么式子A/B就叫做分式，其中A稱為分子，B稱為分母。分式是不同于整式的一類代數(shù)式，分式的值隨分式中字母取值的變化而變化。分式有意義條件是分母不為0。

概念

定義

形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子（或者說被除數(shù)），B叫做分式的分母（或者說除數(shù)）。

當(dāng)分式的分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)時(shí)，這個(gè)分式叫做真分式；當(dāng)分式的分子的次數(shù)等于或高于分母的次數(shù)時(shí)，這個(gè)分式叫做假分式。

注意：判斷一個(gè)式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，關(guān)鍵要滿足：分式的分母（或者說除數(shù)）中必須含有字母，分子分母均為整式。無需考慮該分式是否有意義，即分母是否為零。

由于字母可以表示不同的數(shù)，所以分式比分?jǐn)?shù)更具有一般性。

方法：數(shù)看結(jié)果，式看形。

分式條件

1.分式有意義條件：分母（或者說除數(shù)）不為0。

2.分式值為0條件：分子（或者說被除數(shù)）為0且分母不為0。

3.分式值為正(負(fù))數(shù)條件：分子分母同號得正，異號得負(fù)。

4.分式值為1的條件：分子=分母≠0。

5.分式值為-1的條件：分子分母互為相反數(shù)，且都不為0。

代數(shù)式分類

整式和分式統(tǒng)稱為有理式。

帶有根號且根號下含有字母的式子叫做無理式。

無理式和有理式統(tǒng)稱代數(shù)式。

基本性質(zhì)

分式的分子和分母同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為0的整式，分式的值不變。用式子表示為：A/B=(A*C)/(B*C)， A/B=（A÷C）/（B÷C）（A,B,C為整式，且B、C不等于0）。

運(yùn)算法則

約分

根據(jù)分式基本性質(zhì)，可以把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分。約分的關(guān)鍵是確定分式中分子與分母的公因式。

步驟：

1.如果分式的分子和分母都是單項(xiàng)式或者是幾個(gè)因式乘積的形式，將它們的公因式約去。

2.分式的分子和分母都是多項(xiàng)式，將分子和分母分別分解因式，再將公因式約去。

公因式的提取方法

系數(shù)取分子和分母系數(shù)的最大公約數(shù)，字母取分子和分母共有的字母，指數(shù)取公共字母的最小指數(shù)，即為它們的公因式。

最簡分式

一個(gè)分式不能約分時(shí)，這個(gè)分式稱為最簡分式。約分時(shí)，一般將一個(gè)分式化為最簡分式。

通分

把幾個(gè)異分母分式分別化為與原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。

通分步驟

先求出所有分式分母的最簡公分母，再將所有分式的分母變?yōu)樽詈喒帜?。同時(shí)各分式按照分母所擴(kuò)大的倍數(shù)，相應(yīng)擴(kuò)大各自的分子。

注：最簡公分母的確定方法：

系數(shù)取各因式系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪及單獨(dú)字母的冪的乘積。

注：（1）約分和通分的依據(jù)都是分式的基本性質(zhì)；（2）分式的約分和通分都是互逆運(yùn)算過程。

四則運(yùn)算

1.同分母分式加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。用字母表示為：a/c±b/c=(a±b)/c。

2.異分母分式加減法則：異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算。用字母表示為：a/b±c/d=(ad±cb)/bd。

3.分式的乘法法則：兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。用字母表示為：a/b *c/d=ac/bd。

4.分式的除法法則：

（1）.兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘。例如a/b÷c/d=ad/bc。

（2）.除以一個(gè)分式，等于乘以這個(gè)分式的倒數(shù):例如：a/b÷c/d=a/b*d/c。

分式方程

基本簡介

分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

解法介紹

初二數(shù)學(xué)，分式方程(免費(fèi))科科通按課文順序北師大版呂文華.flv初二數(shù)學(xué)，分式方程(免費(fèi))科科通按課文順序北師大版呂文華.flv

①去分母{方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母（最簡公分母：①系數(shù)取最小公倍數(shù)；②出現(xiàn)的字母取最高次冪；③出現(xiàn)的因式取最高次冪），將分式方程化為整式方程；若遇到互為相反數(shù)時(shí)。不要忘了改變符號}；

分式

②按解整式方程的步驟（移項(xiàng)，若有括號應(yīng)去括號，注意變號，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1）求出未知數(shù)的值；

③驗(yàn)根（求出未知數(shù)的值后必須驗(yàn)根，因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根）。

一般地驗(yàn)根，只需把整式方程的根代入最簡公分母，如果最簡公分母等于0，這個(gè)根就是增根，否則這個(gè)根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，則原方程無解。

如果分式本身約分了，也要代進(jìn)去檢驗(yàn)。

基本步驟

（1）設(shè)未知數(shù)：若把題目中要求的未知數(shù)直接用字母表示出來，則稱為直接設(shè)未知數(shù)，否則稱間接設(shè)未知數(shù)；

（2）列代數(shù)式：用含未知數(shù)的代數(shù)式把題目中有關(guān)的量表示出來，必要時(shí)作出示意圖或列成表格，幫助理順各個(gè)量之間的關(guān)系；

（3）列出方程：根據(jù)題目中明顯的或者隱含的相等關(guān)系列出方程；

（4）解方程并檢驗(yàn)；

（5）寫出答案。

在列分式方程解應(yīng)用題時(shí)，不僅要檢驗(yàn)所的解是否滿足方程式，還要檢驗(yàn)它是否符合題意。

一般地，解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為零，因此要將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為零，則是方程的解。

分式方程及其應(yīng)用舉例

例1：解方程（1）x/(x 1）=2x/（3x 3） 1

兩邊乘3(x 1）去分母得

3x=2x （3x 3）

3x=5x 3

2x=-3

∴x=-3/2

經(jīng)檢驗(yàn)，x=-3/2是原方程的解

（2）2/（x-1）=4/（x^2-1）

兩邊乘（x 1）(x-1）去分母得

2(x 1）=4

2x 2=4

2x=2

∴x=1

檢驗(yàn)：把x=1帶入原方程，使分母為0，是增根。

故原方程2/（x-1）=4/（x^2-1）無解。

（3）2x-3 1/(x-5)=x 2 1/(x-5)

兩邊同時(shí)減1/（x-5)，得x=5

代入原方程，使分母為0，所以x=5是增根

即方程無解！

檢驗(yàn)：把x=a帶入最簡公分母，若x=a使最簡公分母為0，則a是原方程的增根。若x=a使最簡公分母不為零，則a是原方程的根。

歸納：解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程

兩邊同乘最簡公分母，這也是解分式方程的一般思路和做法。檢驗(yàn)格式：把x=a帶入最簡公分母，若x=a使最簡公分母為0，則a是原方程的增根.若x=a使最簡公分母不為零，則a是原方程的根。

當(dāng)然我們可憑經(jīng)驗(yàn)判斷是否有解。若有解，代入所有分母計(jì)算：若無解，代入無解分母即可。

例2：（2010湖南邵陽）小明離家2.4千米的體育館看球賽，進(jìn)場時(shí)，發(fā)現(xiàn)門票還放在家中，此時(shí)離比賽還有45分鐘，于是他立即步行（勻速）回家取票，在家取票用時(shí)2分鐘，取到票后，他馬上騎自行車（勻速）趕往體育館。已知小明騎自行車從家趕往體育館比從體育館步行回家所用時(shí)間少20分鐘，騎自行車的速度是步行速度的3倍。

（1）小明步行的速度（單位：米/分鐘）是多少？

（2）小明能否在球賽開始前趕到體育館？

【解析】（1）設(shè)步行的速度為x米/分鐘，則騎自行車的速度為3x米/分鐘。

解得x=80，3x=240 依題意得（2400╱x）-（2400╱3x）=20

經(jīng)檢驗(yàn)，x=80是原方程的根。

答：小明步行的速度是80米/分鐘。

（2）來回家取票總時(shí)間為：

（2400╱x） （2400╱3x） 2=42分鐘<45分鐘

所以他能在球賽開始前趕到體育館。

答：小明能在球賽開始前趕到體育館。