基本介紹

1801年，高斯的名著《算術(shù)研究》問世?！端阈g(shù)研究》是用拉丁文寫成的。這部書是高斯大學(xué)畢業(yè)前夕開始撰寫的，前后花了三年時間。1800年，高斯將手稿寄給法國科學(xué)院，請求出版，卻遭到拒絕，于是高斯只好自籌資金發(fā)表。

內(nèi)容介紹

在這本書的序言一開頭，高斯明確地說明了本書的范圍：“本書所研究的是數(shù)學(xué)中的整數(shù)部分，分數(shù)和無理數(shù)不包括在內(nèi)?！?/p>

作者介紹

高斯的成就

高斯原本計劃繼續(xù)撰寫《算術(shù)研究》第2卷，但由于工作的變化和研究興趣的轉(zhuǎn)移，這一計劃未能實現(xiàn)。

高斯的許多數(shù)學(xué)成就都是在他去世后才被人們發(fā)現(xiàn)的。從1796年3月30日高斯用尺規(guī)作出正17邊形后，他開始記科學(xué)日記，并且長期堅持下來，到1814年7月9日。高斯的科學(xué)日記是1898年哥廷根皇家學(xué)會為了研究高斯，向高斯的孫子借來的。從此，這本科學(xué)日記的內(nèi)容才在高斯逝世43年后流傳。這本日記共146項研究成果，由于僅供個人使用，所以每一條記錄往往只寫三言兩語，十分簡短。有的條目簡單得甚至專家也摸不著頭腦。

1796年10月11日，Vicimus GEGAN

1799年4月8日，REV.GALEN

這兩項研究成果，至今仍是個謎。

在1796年7月10日中有這樣一條日記：

Ευρηκα！num=△+△+△

Ευρηκα是希臘文找到了的意思。當年，阿基米德在洗澡的時候突然發(fā)現(xiàn)了浮力定律，興奮地從浴缸一躍而起，在大街上狂奔高喊的就是“Ευρηκα！”高斯在這里找到了費馬提出的一個困難定理的證明：每個正整數(shù)是三個三角數(shù)之和。

高斯的科學(xué)日記一經(jīng)披露，轟動了整個科學(xué)界。人們第一次了解到，有許多重大成果高斯實際上早就發(fā)現(xiàn)，而公開發(fā)表得很晚，有的甚至生前根本沒有發(fā)表。有關(guān)橢圓函數(shù)雙周期性的內(nèi)容一直到日記發(fā)表的時候人們才知道，以致這個重大成果在日記里整整沉睡了100年。1797年3月19日的一條日記清楚表明，高斯已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這個成果；后來又有一條，說明高斯還進一步認識到一般情況下的雙周期性。這個問題后來經(jīng)過雅可比（1804—1851）和阿貝爾獨立研究發(fā)展，才成為19世紀函數(shù)論的核心。類似的例子不勝枚舉。

這樣大量的重大發(fā)現(xiàn)在日記里竟被埋沒了幾十年甚至一個世紀！面對這一不可思議的事實，數(shù)學(xué)家無不大為震驚。如果及時發(fā)表這些內(nèi)容，無疑會給高斯帶來空前的榮譽，因為日記中的任何一項成果都是當時世界第一流的。如果及時發(fā)表這些內(nèi)容，就可以免得后來的數(shù)學(xué)家在許多重要領(lǐng)域中的苦苦摸索，數(shù)學(xué)史因而將大大改寫。

當時的社會環(huán)境和高斯個人性格

為什么會出現(xiàn)這現(xiàn)象呢？這與當時的社會環(huán)境和高斯個人性格有十分重要的關(guān)系。

18世紀，數(shù)學(xué)界貫穿著激烈的爭論，數(shù)學(xué)家們各持己見，互相指責(zé)，由于缺乏嚴格的論證，在爭論中又產(chǎn)生了種種錯誤。為了證明自己的論點，他們往往自吹自擂，互相諷刺挖苦，這類爭論給高斯留下了深刻的印象。高斯雖然出身貧微，卻和他的父母一樣，有著極強的自尊心，加之他對科學(xué)研究的極端慎重的態(tài)度，使他生前沒有公開這本日記。他認為，這些研究成果還須進一步加以論證。他在科學(xué)研究上遵循的格言是“寧少毋濫”。

高斯這種嚴謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，雖然使后輩科學(xué)家付出了巨大的代價，但是，也給科學(xué)研究帶來了好處。高斯出版的著作至今仍然像第一次出版一樣正確而重要，他的出版物就是法典，比人類其他法典都更高明，因為不論何時何地從未發(fā)現(xiàn)其中有任何毛病。

高斯治學(xué)的態(tài)度正如他在自己的肖像下工工整整地寫下的《李爾王》中的一段格言一樣：

“大自然，您是我的女神，我一生的效勞都服從于您的規(guī)律。”

高斯在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的成就是巨大的。后來人們問起他成功的秘訣，他以其特有的謙遜方法回答道：

“如果別人思考數(shù)學(xué)的真理像我一樣深入持久，他也會找到我的發(fā)現(xiàn)。”

為了證明自己的結(jié)論，有一次他指著《算術(shù)研究》第633頁上一個問題動情地說：

“別人都說我是天才，別信它！你看這個問題只占短短幾行，卻使我整整花了4年時間。4年來我?guī)缀鯖]有一個星期不在考慮它的符號問題?！?/p>

鑒賞評價

學(xué)術(shù)意義

《算術(shù)研究》是一部劃時代的作品，它結(jié)束了19世紀以前數(shù)論的無系統(tǒng)狀態(tài)。在這部書中，高斯對前人在數(shù)論中的一切杰出而又零星的成果予以系統(tǒng)的整理，并積極加以推廣，給出了標準化的記號，把研究的問題和解決這些問題的已知方法進行了分類，還引進了新的方法。

書籍評價

《算術(shù)研究》似乎任何一個學(xué)過中學(xué)普通代數(shù)的人都可以理解，但是，它完全不是給初學(xué)者看的。在當時，讀懂這本書的人較少。困難不是詳細的計算示例而是對主題的理解和對深奧思路的認識。由于全書有7個部分，人們風(fēng)趣地稱它是部“加七道封漆的著作”。

其他信息

核心課題

全書共有三個核心課題：同余理論、齊式論及剩余論和二次互反律。這些都是高斯貢獻給數(shù)論的卓越成就。

同余理論

同余是《算術(shù)研究》中的一個基本研究課題。這個概念不是高斯首先提出的，但是給同余引入現(xiàn)代的符號并予以系統(tǒng)研究的卻是高斯。他詳細地討論了同余數(shù)的運算、多項式同余式的基本定理以及冪的同余等各種問題。他還運用冪的同余理論證明了費馬小定理。

二次互反律

二次互反律是高斯最得意的成果之一，它在數(shù)論中占有極為重要的地位。正如美國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家狄克遜（1874—1954年）所說：“它是數(shù)論中最重要的工具，并且在數(shù)論發(fā)展史上占有中心位置?！逼鋵?，高斯早在1796年就已經(jīng)得出了這個定理及其證明。發(fā)表在《算術(shù)研究》中的則是另一種證明。

二次互反律發(fā)展

從二次互反律出發(fā)，高斯相繼引出了雙二次互反律和三次互反律，以及與此相聯(lián)系的雙二次和三次剩余理論。為了使三次和雙二次剩余理論優(yōu)美而簡單，高斯又發(fā)展出了復(fù)整數(shù)和復(fù)整數(shù)數(shù)論；而它的進一步結(jié)果必然是代數(shù)數(shù)理論，這方面由高斯的學(xué)生戴德金（1831—1916）作出了決定性的貢獻。

型的理論

在《算術(shù)研究》中，高斯出乎尋常的以最大的篇幅討論了型的理論。他從拉格朗日的著作中抽象出了型的等價概念后，便一鼓作氣地提出了一系列關(guān)于型的等價定理和型的復(fù)合理論，他的工作有效地向人們展現(xiàn)了型的重要性——用于證明任何多個關(guān)于整數(shù)數(shù)的定理。正是由于高斯的帶領(lǐng)，使型的理論成為19世紀數(shù)論的一個主要課題。高斯關(guān)于型和型類的幾何表式的論述是如今所謂數(shù)的幾何學(xué)的開端。

復(fù)數(shù)作用

高斯對數(shù)論問題的處理，有許多涉及到復(fù)數(shù)。

首先是對復(fù)數(shù)的承認

這是個老問題。18、19世紀不少杰出的數(shù)學(xué)家都曾被“復(fù)數(shù)究竟是什么？”搞不清楚。萊布尼茲、歐拉等數(shù)學(xué)大師對此一籌莫展。高斯在代數(shù)基本定理的證明中無條件地使用了復(fù)數(shù)。這使得原先僅從運算通行性這點考慮對復(fù)數(shù)的承認，擴大到在重大的代數(shù)問題的證明中來確認復(fù)數(shù)的地位。高斯以其對該定理的高超證明，使數(shù)學(xué)界不僅對高斯而且對復(fù)數(shù)刮目相待。

復(fù)數(shù)帶進了數(shù)論

高斯不僅如此，他又把復(fù)數(shù)帶進了數(shù)論，并且創(chuàng)立了復(fù)整數(shù)理論。在這一理論中，高斯證明了復(fù)整數(shù)在本質(zhì)上具有和普通整數(shù)相同的性質(zhì)。歐幾里得在普通整數(shù)中證明了算術(shù)基本定理——每個整數(shù)可唯一地分解為素數(shù)的乘積，高斯則在復(fù)整數(shù)中得出并證明，只要不把四個可逆元素（±1，±i）作為不同的因數(shù)，那么這個唯一分解定理對復(fù)數(shù)也成立。高斯還指出，包括費馬大定理在內(nèi)的普通素數(shù)的許多定理都可能轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的定理（擴大到復(fù)數(shù)領(lǐng)域）。

傳播

《算術(shù)研究》出版后，很多青年數(shù)學(xué)家紛紛購買此書并加以研究，狄利克雷（1805—1859）就是其中之一。狄利克雷是德國著名數(shù)學(xué)家，對分析、數(shù)論等有多方面的貢獻。他把《算術(shù)研究》視為心愛的寶貝，把書藏在罩袍里貼胸的地方，走到哪兒帶到哪兒，一有空就拿出來閱讀。晚上睡覺的時候，把它墊在枕頭下面，在睡前還讀上幾段。功夫不負有心人，憑著這股堅韌不拔的毅力，狄利克雷終于第一個打開了“七道封漆”。后來他以通俗的形式對《算術(shù)研究》作了詳細的介紹和解釋，使這部艱深的作品逐漸為較多的人所理解和掌握。

數(shù)學(xué)界的認可

關(guān)于《算術(shù)研究》和狄利克雷之間還有一段感人的故事。1849年7月16日，正好是高斯獲得博士學(xué)位50周年。哥廷根大學(xué)舉行慶祝活動，其中有一個別出心裁的節(jié)目，他們要高斯用《算術(shù)研究》中一頁原稿來點燃自己的煙斗。狄利克雷正好站在高斯身旁，他看到這個情景完全驚呆了。在最后一剎那，他不顧一切地從自己恩師的手中搶下了這頁原稿，并把它珍藏起來。這頁手稿直到狄利克雷逝世以后，編輯人員在整理他的遺稿中才重新發(fā)現(xiàn)了它。

《算術(shù)研究》發(fā)表后，拉格朗日曾經(jīng)悲觀地以為“礦源已經(jīng)挖盡”、數(shù)學(xué)正瀕臨絕境，當他看完《算術(shù)研究》后興奮地看到了希望的曙光。這位68歲高齡的老人致信高斯表示由衷的祝賀：

“您的《算術(shù)研究》已立刻使您成為第一流的數(shù)學(xué)家。我認為，最后一章包含了最優(yōu)美的分析的發(fā)現(xiàn)。為尋找這一發(fā)現(xiàn)，人們作了長時間的探索。……相信我，沒有人比我更真誠地為您的成就歡呼?！?/p>

關(guān)于這部著作，19世紀德國著名數(shù)學(xué)史家莫里茨·康托曾發(fā)表過高見，他說：

“高斯曾說：‘數(shù)學(xué)是科學(xué)的女皇，數(shù)論則是數(shù)學(xué)的女皇?！绻@是真理，我們還可以補充一點：《算術(shù)研究》是數(shù)論的憲章。”

《算術(shù)研究》是高斯一生中的巨著。暮年高斯在談到這部書時說：“《算術(shù)研究》是歷史的財富。”