基本介紹

《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得創(chuàng)作的一部數(shù)學(xué)著作，成書(shū)于公元前300年左右。

《幾何原本》共13卷，其中：第1卷用23個(gè)定義提出了點(diǎn)、線、面、圓和平行線的原始概念，提出了5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理，進(jìn)一步研究了三角形全等的條件、三角形邊和角的大小關(guān)系、平行線的理論、三角形和多角形等積的條件；第2卷研究多邊形的等積問(wèn)題；第3、4卷分別討論了圓的問(wèn)題及圓的內(nèi)接和外切多邊形；第5卷詳細(xì)探討了關(guān)于量的比例的理論；第6卷為相似多邊形的理論；第7、8、9卷為數(shù)論，共100個(gè)命題；第10卷共115個(gè)命題，討論了線段的加、減、乘以及開(kāi)方運(yùn)算，對(duì)所得之特殊線段命了名，并討論了這些特殊線段之間的關(guān)系；第11、12、13卷主要是立體幾何的內(nèi)容。

《幾何原本》總結(jié)了前人的幾何知識(shí)和研究成果，用公理法建立起演繹的數(shù)學(xué)體系的最早典范，標(biāo)志著幾何知識(shí)從零散、片斷的經(jīng)驗(yàn)形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橥暾倪壿嬻w系，深刻影響到后世數(shù)學(xué)的發(fā)展，采用的演繹結(jié)構(gòu)被移植到其它學(xué)科后也同樣促進(jìn)了這些學(xué)科的發(fā)展，但因受時(shí)代限制而存在部分證明有遺漏和錯(cuò)誤、基礎(chǔ)部分不夠嚴(yán)密等明顯的不足。

內(nèi)容介紹

《幾何原本》全書(shū)共13卷，以第1卷的23個(gè)定義、5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理作為基本出發(fā)點(diǎn)，給出了119個(gè)定義和465個(gè)命題及證明，包括了平面幾何、立體幾何和初等數(shù)論的一些內(nèi)容。

第1卷共有23個(gè)定義、5個(gè)公設(shè)、5個(gè)公理和48個(gè)命題，用23個(gè)定義提出了點(diǎn)、線、面、圓和平行線的原始概念，提出了5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理，進(jìn)一步研究了三角形全等的條件、三角形邊和角的大小關(guān)系、平行線的理論、三角形和多角形等積的條件。其中，最后2個(gè)命題是畢達(dá)哥拉斯定理及其逆命題。

第2卷共有14個(gè)命題，研究多邊形的等積問(wèn)題。其中，前10個(gè)代數(shù)命題是用面積變換與畢達(dá)哥拉斯定理解決的，第12、13個(gè)命題相當(dāng)于余弦定理。

第3卷共有37個(gè)命題，先給出了有關(guān)圓的一些定義，然后討論弦、切線、割線及圓心角與圓周角的有關(guān)定理，給出了由已知點(diǎn)作已知圓的切線的作圖方法（不用平行公理）。

第4卷共有16個(gè)命題，論述了圓和多邊形的關(guān)系，如求作正多邊形的內(nèi)切圓、外接圓以及圓的內(nèi)接正多邊形、外切正多邊形。

第5卷共有25個(gè)命題，詳細(xì)探討了關(guān)于量的比例論，比例論避免了無(wú)理數(shù)而適用于不可公度的量。

第6卷共有33個(gè)命題，將第5卷已建立的理論用到平面圖形上去，為相似多邊形的理論。

第7、8、9卷分別有39、27、36個(gè)命題，是初等數(shù)論，是整數(shù)的整除性質(zhì)的討論，包括求兩數(shù)最大公因數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法（也叫歐幾里得算法），給出了有關(guān)連比例的定理，素?cái)?shù)無(wú)窮多的證明，最后一個(gè)命題是一個(gè)數(shù)是完全數(shù)的充分性的定理。

第10卷共有115個(gè)命題，討論了線段的加、減、乘以及開(kāi)方運(yùn)算，對(duì)所得之特殊線段命了名，并討論了這些特殊線段之間的關(guān)系，對(duì)形如（a、b為兩有理線段）的無(wú)理量所有25種可能的形式進(jìn)行分類(lèi)。

第11卷共有39個(gè)命題，討論了空間的直線與平面的各種關(guān)系，給出了直線與平面、平面與平面關(guān)系的許多性質(zhì)定理，還給出了平行六面體的有關(guān)體積的命題。

第12卷共有18個(gè)命題，是關(guān)于面積和體積的命題，特別是關(guān)于圓面積與球體積的問(wèn)題。

第13卷共有18個(gè)命題，是正多面體的一些性質(zhì)，其目的在于討論球內(nèi)接各正多面體邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，最后一個(gè)命題給出了球內(nèi)五個(gè)正多面體邊的作圖，其推論指出正多面體僅有五個(gè)。

背景介紹

公元前8至公元前6世紀(jì)，在小亞細(xì)亞地區(qū)，希臘移民建立了一群經(jīng)濟(jì)上繁榮富裕的工商業(yè)城市，發(fā)展出了希臘城邦制度。希臘人憑借地理上的優(yōu)勢(shì)，大力發(fā)展海上貿(mào)易，廣泛吸收先進(jìn)的古埃及和古巴比倫的文化，成為古希臘文明的中心，培育出了公元前6世紀(jì)以后的小亞細(xì)亞諸城邦的一批思想家和學(xué)者，小亞細(xì)亞、尤其愛(ài)奧尼亞成了古希臘自然哲學(xué)和科學(xué)的故鄉(xiāng)。希波戰(zhàn)爭(zhēng)以后，雅典取得了希臘城邦的領(lǐng)導(dǎo)地位，海上貿(mào)易更加發(fā)達(dá)。經(jīng)濟(jì)生活更加繁榮，古希臘文明中心由小亞細(xì)亞移向希臘本土雅典，此時(shí)，希臘民主城邦制度逐步走向全盛時(shí)代。“各城邦實(shí)行獨(dú)立的主權(quán)在民和直接民主制度，即城邦的政治主權(quán)屬于它的公民，公民們直接參與城邦的管理?！薄霸谶@種制度下，凡享有政治權(quán)利的公民的各項(xiàng)決議無(wú)論在寡頭、貴族或民主政體中總是最后的裁斷，具有最高的權(quán)威”，這種“民主生活又使得議會(huì)、陪審法庭和公民大會(huì)成為說(shuō)話的藝術(shù)即雄辯術(shù)的廣闊的用武之地。雄辯術(shù)可以使一個(gè)普通的公民成為民眾的領(lǐng)袖”。在這種環(huán)境下，雅典學(xué)術(shù)氣氛十分活躍，雅典公民在公開(kāi)的政治生活中獲得廣泛的知識(shí)，希臘世界各地的知識(shí)分子也群趨雅典，希臘哲學(xué)、藝術(shù)、文化科學(xué)等各方面呈現(xiàn)出百花齊放、各炫異彩的空前盛況。馬其頓王亞歷山大的帝國(guó)崩潰以后，作為東西海陸交通樞紐的埃及的亞歷山大里亞逐漸成為古希臘文化中心。其時(shí)，托勒密一世重視科學(xué)文化，在那里修建科學(xué)中心。修建博物園，建立圖書(shū)館，藏書(shū)70余萬(wàn)卷，幾乎包括所有古希臘的著作和東方的一部分典籍，還把當(dāng)時(shí)所有學(xué)術(shù)中心的許多學(xué)者請(qǐng)到亞歷山大里亞，歐幾里得就是在公元前300年左右受邀到那里從事教學(xué)和研究的。數(shù)學(xué)在一個(gè)自由的學(xué)術(shù)氣氛中最能獲得成功，而希臘的民主城邦制度則提供了這種自由的學(xué)術(shù)環(huán)境，在那里古希臘人創(chuàng)立了思辯的哲學(xué)，發(fā)展和積累了豐富的自然科學(xué)和數(shù)學(xué)知識(shí)，《幾何原本》就是在這樣的環(huán)境中誕生的。

大約在公元前300年，歐幾里得比較系統(tǒng)地總結(jié)了古代勞動(dòng)人民長(zhǎng)期積累的幾何知識(shí)，把人們公認(rèn)的一些事例歸納成定義和公理，用它來(lái)研究圖形的性質(zhì)，寫(xiě)成了《幾何原本》一書(shū)。

作者介紹

歐幾里得（Euclid，約公元前330年—公元前275年），古希臘數(shù)學(xué)家。托勒密一世（Ptolemy Soter，約公元前367年—公元前282年）時(shí)代的人，早年求學(xué)于雅典，公元前300年前后活躍于古希臘文化中心亞歷山大。著有《幾何原本》（Elements）、《已知數(shù)》（The data）、《圓形的分割》（On divisions of figures）、《糾錯(cuò)集》（Pseudaria）、《推論集》（Porisms）、《圓錐曲線》（Conics）、《現(xiàn)象》（Phaenomena）、《曲面軌跡》（Surface Loci）、《光學(xué)》（Optics）等。

鑒賞評(píng)價(jià)

作品思想

公理化思想

公理化方法的建立具有分析、歸納和總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)的作用，能把分散的、雜亂的、支離片段的幾何知識(shí)整理成為一門(mén)完整的、嚴(yán)密的、系統(tǒng)的科學(xué)體系。在一個(gè)數(shù)學(xué)理論體系中，盡可能少地選取原始概念和不加證明的一組公理，以此為出發(fā)點(diǎn)，利用純邏輯推理的規(guī)則，把該理論體系建立成一個(gè)演繹系統(tǒng)，這樣一種構(gòu)建理論體系的思想就是公理化思想?！稁缀卧尽芳磸纳贁?shù)幾個(gè)公理出發(fā)，由簡(jiǎn)到繁地推演出460多個(gè)命題，建立起人類(lèi)史上第一個(gè)完整的公理演繹體系。

首先，《幾何原本》系統(tǒng)使用公理化方法。書(shū)中從定義、公設(shè)、公理出發(fā)，按邏輯規(guī)則勾織了一張命題之網(wǎng)，錘煉出了嚴(yán)密的公理化演繹系統(tǒng)，建立了幾何學(xué)的邏輯體系。為數(shù)很少的初始原則幾乎無(wú)一例外具有自明性，但卻能演繹出極其豐富可靠的命題。

其次，《幾何原本》構(gòu)建了完整的幾何體系。歐幾里得總結(jié)了前人積累的成果，使零散的數(shù)學(xué)知識(shí)編織成一個(gè)完整的幾何體系，又通過(guò)對(duì)早期柏拉圖數(shù)學(xué)思想，尤其是幾何論系統(tǒng)的周詳研究，敏銳觀察到了幾何學(xué)理論發(fā)展的趨勢(shì)，把歐多克索斯的許多定理收入《幾何原本》，并完善了前人的證明，給出了無(wú)懈可擊的論證。

最后，《幾何原本》發(fā)展了數(shù)學(xué)思想方法。歐幾里得為幾何證明提供了規(guī)范，書(shū)中許多證明是他自己獨(dú)創(chuàng)的，表現(xiàn)了很高的技巧。書(shū)中的證明方法主要有綜合法、分析法和反證法、幾何代數(shù)法，既用幾何代數(shù)法敘述了比例論，巧妙地解決了很多經(jīng)典問(wèn)題；又廣泛使用了窮竭法，使這一數(shù)學(xué)方法得到發(fā)展，而從中可以看到微積分的思想方法的雛形；還論證命題的過(guò)程中使用了輾轉(zhuǎn)相除法，給出了兩個(gè)正整數(shù)的最大公因數(shù)。

作品影響

數(shù)學(xué)方面

首先，《幾何原本》建立了比較嚴(yán)密的幾何體系，其誕生標(biāo)志著幾何學(xué)已成為一個(gè)有著比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科，在幾何學(xué)發(fā)展史上具有劃時(shí)代的意義。在這個(gè)體系中有四個(gè)方面的內(nèi)容：①定義。亦即幾何學(xué)里用的名稱(chēng)或術(shù)語(yǔ)的意義，都是以生產(chǎn)實(shí)踐中抽象出來(lái)且為人們所共知的，因而無(wú)需加以說(shuō)明。例如“點(diǎn)”的定義是：點(diǎn)只有位置而沒(méi)有大小，且不能被分割。②公理。亦即不加邏輯推證而自明的真理。③公設(shè)。就是幾何學(xué)中假設(shè)其成立的事項(xiàng)，但這種假設(shè)必須有客觀依據(jù)而被大家公認(rèn)。例如，過(guò)任何不同的兩點(diǎn)，可以作一條直線。近代的學(xué)者不再把公設(shè)與公理分開(kāi)，而統(tǒng)稱(chēng)之為公理。?④命題。包括作圖題和定理兩部分。作圖題是從幾何學(xué)里已知的對(duì)象出發(fā)，找出或作出所要求的對(duì)象；定理則是根據(jù)假定、公理、公設(shè)和定義，應(yīng)用邏輯推理方法推證而得出的結(jié)論。?全書(shū)就是以第1卷的定義、公設(shè)、公理為依據(jù)，邏輯地展開(kāi)各部分內(nèi)容。比如之后出現(xiàn)的每一個(gè)定理，都寫(xiě)明什么是已知的、什么是要求證的，都根據(jù)前面的定義、公設(shè)、公理、定理等進(jìn)行邏輯推理給予嚴(yán)格的證明。

其次，歐幾里得在《幾何原本》中把幾何學(xué)建筑在最初的公設(shè)、公理的基礎(chǔ)上，然后運(yùn)用邏輯的定義和推理方法依次導(dǎo)出后面的定義和定理，把龐大的零散的幾何知識(shí)用邏輯的鏈子整理和編織成為一個(gè)系統(tǒng)的概念和理論的完整體系，并規(guī)定了幾何的證明方法（如分析法、綜合法和歸納法等），這是用公理方法建立幾何體系的雛形，對(duì)近代數(shù)學(xué)的發(fā)展有著巨大的推動(dòng)作用，給現(xiàn)代幾何學(xué)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

最后，歐幾里得的第五公設(shè)在數(shù)學(xué)史上占有特殊的地位。后世的數(shù)學(xué)家注意到，與論述直線和圓的基本性質(zhì)的前四條公設(shè)相比，第五公設(shè)的性質(zhì)顯得太復(fù)雜了，更像一條定理而不是公設(shè)。因此人們開(kāi)始懷疑第五公設(shè)作為公理的地位，并探索用其它公理來(lái)證明它，從而使之變成為一條定理。在兩千余年中，進(jìn)行這種求索試探并有案可查的就達(dá)2000人以上，其中包括許多知名的數(shù)學(xué)家。雖然，所有這一切幾乎都失敗了，但是，由于數(shù)學(xué)家們對(duì)歐幾里得第五公設(shè)的懷疑、探索，并在這些失敗教訓(xùn)中，引出了許多與歐幾里得幾何不同的幾何，誕生了一種嶄新的幾何學(xué)體系——非歐幾何學(xué)。

教育方面

歐幾里得《幾何原本》系統(tǒng)地整理并記載了長(zhǎng)時(shí)期以來(lái)人們?cè)谏顚?shí)踐中所積累的豐富的幾何知識(shí)以及較嚴(yán)密的邏輯結(jié)構(gòu)，因此，盡管科學(xué)技術(shù)的發(fā)展日新月異，但是《幾何原本》一直是傳播幾何知識(shí)和培養(yǎng)邏輯思維能力的較好的教材，對(duì)數(shù)學(xué)教育起著重要的作用，歷史上諸多科學(xué)家從中得到益處，從而作出了偉大的貢獻(xiàn)。例如牛頓、愛(ài)因斯坦。其中，牛頓在公元1664年4月一次獎(jiǎng)學(xué)金考試中落選，當(dāng)時(shí)的考官巴羅博士對(duì)他說(shuō)：“因?yàn)槟愕膸缀位A(chǔ)知識(shí)太貧乏，無(wú)論怎樣用功也是不行的。”此后，牛頓把《幾何原本》從頭到尾反復(fù)地進(jìn)行深入鉆研，在少年時(shí)代打下了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，后來(lái)成為數(shù)學(xué)、物理學(xué)的卓越科學(xué)家。

哲學(xué)方面

首先，但凡是具有科學(xué)哲學(xué)傾向的哲學(xué)家和百科全書(shū)式的哲學(xué)家，都受過(guò)《幾何原本》的深刻影響：或者從接觸到它而轉(zhuǎn)向研究哲學(xué)；或者從中得到基本的邏輯訓(xùn)練，形成了一個(gè)注重和善于邏輯思維的大腦；或者從中吸取思想養(yǎng)料，并把它轉(zhuǎn)化成哲學(xué)材料；或者受到它的公理化體系和演繹方法的啟示，為構(gòu)造各自的哲學(xué)大廈得到框架和建構(gòu)方法。諸如霍布斯、笛卡爾、斯賓諾莎、萊布尼茨、狄德羅等。

其次，《幾何原本》的公理化體系成為許多派別的哲學(xué)家構(gòu)筑哲學(xué)理論體系的框架。不論是唯物派哲學(xué)家，還是唯心派哲學(xué)家，不論是經(jīng)驗(yàn)派哲學(xué)家，還是唯理派哲學(xué)家，都對(duì)這種公理化的體系大加推崇，把它用到構(gòu)筑自己的哲學(xué)體系中來(lái)，這幾乎已經(jīng)成為全部歐洲近代哲學(xué)的傳統(tǒng)。

最后，《幾何原本》引發(fā)了深刻的認(rèn)識(shí)論問(wèn)題。兩千多年來(lái)，人們對(duì)《幾何原本》的絕大多數(shù)公理和用于推導(dǎo)邏輯程序是深信不疑的，認(rèn)為它們具有普遍必然性。至于這種公理和邏輯程序的普遍必然性是從何而來(lái)的，許許多多的哲學(xué)家對(duì)此進(jìn)行了持續(xù)不斷的研究和探索，在哲學(xué)史上形成了一個(gè)答案各異、觀點(diǎn)迭出、派別林立的異采紛呈的局面。有的哲學(xué)家認(rèn)為，它來(lái)自經(jīng)驗(yàn)歸納；有的哲學(xué)家認(rèn)為，它來(lái)自“天賦觀念”；有的哲學(xué)家則認(rèn)為，它既不來(lái)自先天分析，又不來(lái)自后天綜合，而是來(lái)自先入、綜合；等等。只有馬克思主義的唯物論的反映論才唯一正確地回答了這一深刻的認(rèn)識(shí)論問(wèn)題：無(wú)論是《幾何原本》的公理，還是《幾何原本》的用于推導(dǎo)的邏輯程序，都只能來(lái)自人們的社會(huì)實(shí)踐，特別是用于改造自然的生產(chǎn)實(shí)踐。但馬克思主義的回答是為研究這一問(wèn)題確定了正確的原則和方向，并不意味著結(jié)束對(duì)這一問(wèn)題的研究。

作品評(píng)價(jià)

明代數(shù)學(xué)家徐光啟：“此書(shū)為益，能令學(xué)理者祛其浮氣，練其精心；學(xué)事者資其定法，發(fā)其巧思。故舉世無(wú)一人不當(dāng)學(xué)?！藭?shū)有四不必：不必疑，不必揣，不必試，不必改。有四不可得：欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前后更置之不可得。有三至三能：似至晦，實(shí)至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，實(shí)至簡(jiǎn)，故能以其簡(jiǎn)簡(jiǎn)他物之至繁；似至難，實(shí)至易，故能以易易他物之至難。易生于簡(jiǎn)，簡(jiǎn)生于明，綜其妙，在明而已?！?/p>

近代思想家梁?jiǎn)⒊骸白钪?，如利、徐合譯之《幾何原本》，字字精金美玉，為千古不朽之作，無(wú)用我再為贊嘆了?！?/p>

其他信息

出版信息

希臘文本

歐幾里得《幾何原本》的手稿早已失傳，《幾何原本》在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)是以各種文字的抄本到處流傳，而且不同文字的抄本內(nèi)容不盡相同，甚至是根據(jù)一些版本重新整理修訂的。到了公元4世紀(jì)，希臘人賽翁（Theon）根據(jù)幾個(gè)不同版本整理了一個(gè)希臘文抄本，此即賽翁抄本，后來(lái)的學(xué)者大都根據(jù)賽翁抄本研究和翻譯《幾何原本》。

公元1533年，在巴塞爾（Basel）第一次印刷了格里烏（Simon Gryueng）的希臘文本《幾何原本》，此即巴塞羅版。 

公元1808年，在梵蒂岡圖書(shū)館發(fā)現(xiàn)了兩部歐幾里得的著作，其中之一是希臘文抄本《幾何原本》（MS.Vat.190），此即梵蒂岡抄本。拿破侖把這兩個(gè)抄本送往巴黎，經(jīng)研究認(rèn)為該抄本的來(lái)源早于賽翁抄本。從此，很多學(xué)者把注意力轉(zhuǎn)向研究梵蒂岡抄本。

阿拉伯文譯本

在哈倫·拉希德（Harun al—Rasid）統(tǒng)治的公元9世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家哈賈杰·伊本·優(yōu)素福（al-Hajjāj ibn Yūsuf）受皇室的委托和資助，譯出第一個(gè)阿拉伯文譯本《幾何原本》，稱(chēng)Harun版。

在馬蒙統(tǒng)治時(shí)期，哈賈杰·伊本·優(yōu)素福又根據(jù)其他抄本對(duì)《幾何原本》的譯文進(jìn)行了刪除、補(bǔ)充，使其內(nèi)容更簡(jiǎn)化了些，重新譯出一個(gè)阿拉伯文譯本，稱(chēng)al—Mamun版。該譯本共6本，可能13卷，現(xiàn)藏于荷蘭的萊頓（MS. Cadex.Leidensis 399，1）。

伊沙格（Ishāq ibn Hunain，?—公元910年）認(rèn)為前人的阿拉伯文譯本《幾何原本》不理想，便決心自己重新翻譯，但他的譯本沒(méi)有保存下來(lái)。伊拉克數(shù)學(xué)家塔比·伊本·庫(kù)拉（Thābit ibn Qurra，約公元834年—公元901年）修訂了伊沙格的譯文，完成了15卷的一個(gè)阿拉伯文譯本，含478個(gè)命題，稱(chēng)伊沙格—塔比本（Ishāq—Thābit本），牛津大學(xué)圖書(shū)館現(xiàn)藏有該譯本的兩個(gè)抄本（Ms Oxford，Bodl 279，公元1238年抄；Ms Oxford，Bodl 280，公元1260年抄，有修改）。

數(shù)學(xué)家納西爾·?。∟asir ad-Din al-Tusi，約公元1201年—公元1274年）根據(jù)掌握的譯本重新整理和編寫(xiě)了一個(gè)阿拉伯文譯本《幾何原本》（Tahrir usùl Uqlidis），于公元1248年完成，分大版（editio major）和小版（editio minor）兩種。其中，大版于公元1594年在羅馬出版過(guò)，只在意大利佛羅倫薩（Florence）能見(jiàn)到（Ms Flor. Pal. 272；Ms Flor. Pal. 313，僅有6卷）；小版共15卷，含468個(gè)命題，流傳很廣，公元1801年在君士坦丁堡（Constantinople）印刷過(guò)，公元1824年在加爾各答（Calcutta）印刷過(guò)前6卷，在倫敦、巴黎、柏林、慕尼黑、伊斯坦布爾等地都能見(jiàn)到，可以在大英博物館（974；1334；1335）和巴黎（2465；2466）查閱到。

拉丁文譯本

公元1120年左右，英國(guó)學(xué)者阿德拉德（Adelard of Bath，約公元1090年—公元1150年）根據(jù)阿拉伯文譯本翻譯出第一個(gè)拉丁文譯本《幾何原本》，分為3類(lèi)：Adelard Ⅰ、Adelard Ⅱ、Adelard Ⅲ。其中，Adelard Ⅰ的底本是哈賈杰·伊本·優(yōu)素福的阿拉伯文譯本；Adelard Ⅱ是在Adelard Ⅰ的基礎(chǔ)上修改形成的，有時(shí)也稱(chēng)Adelard單行本；Adelard Ⅲ是在Adelard Ⅱ的基礎(chǔ)上編寫(xiě)的，有序文。后來(lái)，杰拉德（Gerard of Cremora，公元1114年—公元1187年）又從伊沙格—塔比本譯出一個(gè)拉丁文譯本。 

公元1255年左右，意大利諾瓦拉人坎帕努斯（Campanus of Novara，?—公元1296年）參考數(shù)種阿拉伯文譯本及早期的拉丁文本重新譯出一個(gè)拉丁文譯本《幾何原本》，于公元1482年在意大利出版，成為第一個(gè)印刷本《幾何原本》。當(dāng)時(shí)，意大利出版家愛(ài)爾哈得（Erhard Ratbolt）在威尼斯創(chuàng)建了一個(gè)印刷廠，主動(dòng)承印了該譯本。公元1486年，在烏爾姆（ULM）再版。公元1491年，又在巴塞爾重版。

公元1505年，在威尼斯出版了意大利數(shù)學(xué)家贊貝蒂（Bartolomeo Zamberti，約公元1473年—?）第一次直接從希臘文本譯出的一個(gè)拉丁文譯本，該譯本13卷，底本為塞翁抄本。

公元1572年，意大利數(shù)學(xué)家科曼迪諾（Federico Commandino，公元1509年—公元1575年）直接從希臘文本《幾何原本》譯出的一個(gè)拉丁文譯本于比薩出版，該譯本15卷，附有前人的注釋和科曼迪諾自己的研究成果。

公元1574年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克拉維烏斯（Christoph Clavius，公元1537年—公元1612年）校訂增補(bǔ)的一個(gè)拉丁文譯本《歐幾里得原本15卷》（Euclidis Elementorum Libri XV）在羅馬出版，之后多次再版。原著只有13卷，該譯本的第14、15卷是后人添加上去的，和原著有很大的出入。其中，第14卷一般認(rèn)為出自許普西克勒斯（Hypsicles，約公元前180年）之手，而第15卷是公元6世紀(jì)初敘利亞人大馬士革烏斯（Damascius）所著。

公元1655年，巴羅（Isaac Barrow，公元1630年—公元1677年）根據(jù)希臘文本《幾何原本》譯出一個(gè)拉丁文譯本。

希臘文與拉丁文對(duì)照本

公元1883年—公元1916年間，丹麥古典文獻(xiàn)學(xué)家約翰·盧茲維·海貝爾（Johan Ludvig Heiberg，公元1854年—公元1928年）和他的學(xué)生海因里?！らT(mén)格（Heinrich Menge）整理的8卷本《歐幾里得全集》（Euclidis Opera Omnia）各卷先后出版。其中，第1—5卷就是《幾何原本》，出版于公元1883年，為希臘文與拉丁文對(duì)照本，底本是梵蒂岡抄本（公元10世紀(jì)），副底本是收藏在牛津（MS Oxford，Bodl. D'Orville 301，公元9世紀(jì)）、佛羅倫薩（MS Firenze，Laurentian XXVⅢ3，公元10世紀(jì)）、維也納（MS Wien，Philos. Gr. No 103，公元11—12世紀(jì)）的三個(gè)抄本。

英文譯本

公元1570年，比林斯利（Henry Billingsley）完成第一個(gè)完整的英文譯本《幾何原本》（The Elements of Geometrie of the most ancient philosopher Euclide of Megara），其書(shū)名將亞歷山大里亞的數(shù)學(xué)家歐幾里得誤作墨伽拉（Megara）的哲學(xué)家。

公元1660年，巴羅根據(jù)希臘文本《幾何原本》譯出的一個(gè)英文譯本出版。

公元1756年，西姆森（Robert Simson，公元1687年—公元1768年）以科曼迪諾的拉丁文譯本為基礎(chǔ)譯出的一個(gè)英文譯本《幾何原本》（The Elements of Euclid, with The first six Books together with the eleventh and twelfth）出版。該譯本不包括第7—10卷和第13卷，加進(jìn)了西姆森自己的許多解釋?zhuān)⒉粶?zhǔn)確。

公元1862年，托德亨特（Issac Todhunter，公元1822年—公元1884年）在西姆森英文譯本的基礎(chǔ)上修改而成的一個(gè)英文譯本《幾何原本》（Elements of Euclid）出版。該譯本用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語(yǔ)言加了很多解釋?zhuān)瑖?yán)格而言并非歐幾里得的《幾何原本》，而是講授歐幾里得幾何學(xué)的教科書(shū)。

公元1908年，托馬斯·利特爾·希思（Thomas Little Heath，公元1861年—公元1940年）根據(jù)希臘文與拉丁文對(duì)照本中的希臘文本譯出的一個(gè)英文譯本《幾何原本》（The thirteen books of Euclid's elements）出版，公元1925年再版，公元1956年重印。

中文譯本

最早的中文譯本《幾何原本》出版于公元1607年，由利瑪竇（Matteo Ricci，公元1552年—公元1610年）和徐光啟（公元1562年—公元1633年）翻譯，底本是克拉維烏斯校訂增補(bǔ)的拉丁文譯本《歐幾里得原本15卷》，僅譯出前6卷。到公元1857年，后9卷才由英國(guó)人偉烈亞力（Alexander Wylie，公元1815年—公元1887年）和李善蘭（公元1811年—公元1882年）共同譯出，底本可能是巴羅的英文譯本。