算籌計(jì)數(shù)法

在算籌計(jì)數(shù)法中，以縱橫兩種排列方式來表示單位數(shù)目的，其中1-5均分別以縱橫方式排列相應(yīng)數(shù)目的算籌來表示，6-9則以上面的算籌再加下面相應(yīng)的算籌來表示。表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空。這種計(jì)數(shù)法遵循一百進(jìn)位制。據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng)?！断年?yáng)侯算經(jīng)》說：滿六以上，五在上方.六不積算，五不單張。

發(fā)明

算籌的發(fā)明就是在以上這些記數(shù)方法的歷史發(fā)展中逐漸產(chǎn)生的。它最早出現(xiàn)在何時(shí)，已經(jīng)不可查考了，但至遲到春秋戰(zhàn)國(guó)；算籌的使用已經(jīng)非常普遍了。前面說過，算籌是一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子，那么怎樣用這些小棍子來表示各種各樣的數(shù)目呢？

擺法

那么為什么又要有縱式和橫式兩種不同的擺法呢？這就是因?yàn)槭M(jìn)位制的需要了。所謂十進(jìn)位制，又稱十進(jìn)位值制，包含有兩方面的含義。其一是"十進(jìn)制"，即每滿十?dāng)?shù)進(jìn)一個(gè)單位，十個(gè)一進(jìn)為十，十個(gè)十進(jìn)為百，十個(gè)百進(jìn)為千……其二是"位值制，即每個(gè)數(shù)碼所表示的數(shù)值，不僅取決于這個(gè)數(shù)碼本身，而且取決于它在記數(shù)中所處的位置。如同樣是一個(gè)數(shù)碼"2"，放在個(gè)位上表示2，放在十位上就表示20，放在百位上就表示200，放在千位上就表示2000……在我國(guó)商代的文字記數(shù)系統(tǒng)中，就已經(jīng)有了十進(jìn)位值制的萌芽，到了算籌記數(shù)和運(yùn)算時(shí)，就更是標(biāo)準(zhǔn)的十進(jìn)位值制了。

早在兩千多年前，我國(guó)古代勞動(dòng)人民就發(fā)明了乘法的計(jì)算方法。不過，當(dāng)時(shí)的方法與現(xiàn)在的不一樣，用算籌來進(jìn)行計(jì)算的。算籌就是用竹子或其他材料做成的一根根小棒。當(dāng)時(shí)用小棒表示數(shù)的方法有橫式和縱式兩種(表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，依此類推，遇零則置空)。

用算籌進(jìn)行乘法計(jì)算，先擺乘數(shù)于上，再擺被乘數(shù)于下，并使上數(shù)的首位與下數(shù)的末位對(duì)齊，按從左到右的順序用上數(shù)首位乘下數(shù)各位，把乘得的積擺在上下兩數(shù)中間，然后將上數(shù)的首位去掉、下數(shù)向右移動(dòng)一位，再以上數(shù)第二位乘下數(shù)各位，加入中間的乘積，并去掉上數(shù)第二位。直到上數(shù)各位用完，中間的數(shù)便是結(jié)果。下面以183×26為例具體說明一下：

1．把乘數(shù)26擺在上面，被乘數(shù)183擺在下面，被乘數(shù)的個(gè)位與乘數(shù)的十位對(duì)齊，中間留有空余，準(zhǔn)備擺乘得的積(如圖2)；

2．從高位乘起，用乘數(shù)十位上的2乘被乘數(shù)183，得3660，擺在中間，積的數(shù)位與被乘數(shù)對(duì)齊(如圖3，積的個(gè)位0用空位表示)；

3．去掉已乘過的乘數(shù)十位上的數(shù)字2，把乘數(shù)個(gè)位6移至與被乘數(shù)的個(gè)位對(duì)齊的位置(如圖4)；

4．用乘數(shù)個(gè)位6乘被乘數(shù)183，所得的積與3660相加，最后得積4758(如圖5)。

規(guī)則

按照中國(guó)古代的籌算規(guī)則，算籌記數(shù)的表示方法為：個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式，萬位再用縱式等等（到搜狗可以查）這樣從右到左，縱橫相間，以此類推，就可以用算籌表示出任意大的自然數(shù)了。由于它位與位之間的縱橫變換，且每一位都有固定的擺法，所以既不會(huì)混淆，也不會(huì)錯(cuò)位。毫無疑問，這樣一種算籌記數(shù)法和現(xiàn)代通行的十進(jìn)位制記數(shù)法是完全一致的。

十進(jìn)位制的算籌

中國(guó)古代十進(jìn)位制的算籌記數(shù)法，在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造。把它與世界其他古老民族的記數(shù)法作一比較，其優(yōu)越性是顯而易見的。古羅馬的數(shù)字系統(tǒng)沒有位值制，只有七個(gè)基本符號(hào)，如要記稍大一點(diǎn)的數(shù)目就相當(dāng)繁難。古美洲瑪雅人雖然懂得位值制，但用的是20進(jìn)位；古巴比倫人也知道位值制，但用的是60進(jìn)位。20進(jìn)位至少需要19個(gè)數(shù)碼，60進(jìn)位則需要59個(gè)數(shù)碼，這就使記數(shù)和運(yùn)算變得十分繁復(fù)，遠(yuǎn)不如只用9個(gè)數(shù)碼便可表示任意自然數(shù)的十進(jìn)位制來得簡(jiǎn)捷方便。中國(guó)古代數(shù)學(xué)之所以在計(jì)算方面取得許多卓越的成就，在一定程度上應(yīng)該歸功于這一符合十進(jìn)位制的算籌記數(shù)法。馬克思在他的《數(shù)學(xué)手稿》一書中稱十進(jìn)位記數(shù)法為"最妙的發(fā)明之一"，當(dāng)然是一點(diǎn)也不過分。

古代數(shù)學(xué)成就

在算籌計(jì)數(shù)法中，以縱橫兩種排列方式來表示單位數(shù)目的，其中1-5均分別以縱橫方式排列相應(yīng)數(shù)目的算籌來表示，6-9則以上面的算籌再加下面相應(yīng)的算籌來表示。表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空。這種計(jì)數(shù)法遵循十進(jìn)位制。算籌的出現(xiàn)年代已經(jīng)不可考，但據(jù)史料推測(cè)，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國(guó)初年（公元前722年～公元前221年）。

兩千多年前我們的祖先就懂得了這樣精妙的計(jì)算，真是神奇！在這當(dāng)中，算籌功不可沒，它是在珠算發(fā)明以前中國(guó)獨(dú)創(chuàng)并且是最有效的計(jì)算工具。中國(guó)古代數(shù)學(xué)的早期發(fā)達(dá)與持續(xù)發(fā)展都是受惠于算籌的。